揭示双曲正弦函数的积分表示：揭开函数积分关系的秘密

# 1. 双曲正弦函数的定义和性质**

**1.1 定义**

双曲正弦函数（sinh）是双曲函数之一，定义为：

sinh(x) = (e^x - e^-x) / 2

其中，x 是实数。

**1.2 性质**

* 奇函数：sinh(-x) = -sinh(x)
* 导数：d/dx sinh(x) = cosh(x)
* 积分：∫ sinh(x) dx = cosh(x) + C
* 与三角函数的关系：sinh(ix) = i sin(x)

# 2. 双曲正弦函数积分的理论基础

### 2.1 双曲函数的微分和积分关系

**定义：**

双曲函数是正弦和余弦函数的类似物，定义为：

sinh(x) = (e^x - e^-x) / 2
cosh(x) = (e^x + e^-x) / 2

**微分关系：**

d/dx sinh(x) = cosh(x)
d/dx cosh(x) = sinh(x)

**积分关系：**

∫ sinh(x) dx = cosh(x) + C
∫ cosh(x) dx = sinh(x) + C

### 2.2 积分换元法在双曲正弦函数积分中的应用

**积分换元法：**

积分换元法是一种积分技巧，通过将积分变量替换为一个新的变量，使得积分更容易求解。

**在双曲正弦函数积分中的应用：**

对于积分 `∫ sinh(ax) dx`，令 `u = ax`，则 `du = a dx`。代入积分式，得到：

∫ sinh(ax) dx = ∫ sinh(u) (1/a) du
= (1/a) cosh(u) + C
= (1/a) cosh(ax) + C

**代码块：**

import sympy

def sinh_integral(a, x):
    """计算 sinh(ax) 的积分。

    Args:
        a: 常数
        x: 积分变量

    Returns:
        积分结果
    """
    u = sympy.Symbol("u")
    integral = sympy.Integral(sympy.sinh(a * x), x)
    result = integral.subs(x, u / a) / a
    return result.subs(u, a * x)

print(sinh_integral(2, 3))

**逻辑分析：**

* 令 `u = ax`，则 `du = a dx`。
* 将 `u` 代入积分式，得到 `∫ sinh(ax) dx = ∫ sinh(u) (1/a) du`。
* 求出积分结果，得到 `(1/a) cosh(u) + C`。
* 将 `u` 替换回 `ax`，得到 `(1/a) cosh(ax) + C`。

**参数说明：**

* `a`: 常数
* `x`: 积分变量

**代码块：**

import sympy

def cosh_integral(a, x):
    """计算 cosh(ax) 的积分。

    Args:
        a: 常数
        x: 积分变量

    Returns:
        积分结果
    """
    u = sympy.Symbol("u")
    integral = sympy.Integral(sympy.cosh(a * x), x)
    result = integral.subs(x, u / a) / a
    return result.subs(u, a * x)

print(cosh_integral(2, 3))

**逻辑分析：**

* 令 `u = ax`，则 `du = a dx`。
* 将 `u` 代入积分式，得到