揭秘双曲正弦函数的复合函数：探索函数组合的奥妙

# 1. 双曲正弦函数的定义与性质**

双曲正弦函数，记为 sinh(x)，是双曲函数族中的一种，其定义为：

sinh(x) = (e^x - e^-x) / 2

双曲正弦函数具有以下性质：

* 奇函数：sinh(-x) = -sinh(x)
* 单调递增：对于 x > 0，sinh(x) > 0
* 导数：sinh'(x) = cosh(x)
* 积分：∫sinh(x) dx = cosh(x) + C

# 2.1 函数组合的概念与运算

### 函数组合的概念

函数组合是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入，从而得到一个新的函数。记作：

(f ∘ g)(x) = f(g(x))

其中，f 和 g 是两个函数，x 是自变量。

### 函数组合的运算

函数组合的运算遵循以下规则：

- **结合律：** (f ∘ g) ∘ h = f ∘ (g ∘ h)
- **单位元：** f ∘ id = f，其中 id(x) = x 是恒等函数

### 函数组合的性质

函数组合具有以下性质：

- **复合函数的定义域：** (f ∘ g)(x) 的定义域是 g(x) 的值域与 f(x) 的定义域的交集。
- **复合函数的单调性：** 如果 f 和 g 都单调递增（递减），则 f ∘ g 也单调递增（递减）。
- **复合函数的奇偶性：** 如果 f 和 g 都是奇函数（偶函数），则 f ∘ g 也是奇函数（偶函数）。

### 函数组合的例子

考虑以下两个函数：

f(x) = x^2
g(x) = 2x + 1

函数组合 (f ∘ g)(x) 的计算如下：

(f ∘ g)(x) = f(g(x)) = f(2x + 1) = (2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1

因此，函数组合 (f ∘ g)(x) 是一个新的函数，其定义域为所有实数，值域为非负实数。

# 3. 双曲正弦函数的复合函数

### 3.1 双曲正弦函数的复合函数形式

双曲正弦函数的复合函数形式是指将双曲正弦函数作为内部函数，与其他函数进行复合运算。其一般形式为：

f(x) = g(sinh(x))

其中，`g(x)` 为外函数，`sinh(x)` 为内函数。

**例 1：