揭示双曲正弦函数与其他双曲函数的联系：探索双曲函数家族的奥秘

# 1. 双曲函数的定义和基本性质**

**定义：**

双曲函数是与三角函数类似的一组函数，它们是正弦、余弦、正切、余切函数的双曲线模拟。它们定义为：

sinh(x) = (e^x - e^-x) / 2
cosh(x) = (e^x + e^-x) / 2
tanh(x) = sinh(x) / cosh(x)
coth(x) = cosh(x) / sinh(x)
sech(x) = 1 / cosh(x)
csch(x) = 1 / sinh(x)

**基本性质：**

* 奇偶性：sinh(x) 和 tanh(x) 为奇函数，其余为偶函数。
* 单调性：sinh(x)、cosh(x) 和 tanh(x) 在整个实数域上单调递增。

# 2. 双曲正弦函数与其他双曲函数的关系

### 2.1 双曲正弦函数与双曲余弦函数

#### 2.1.1 导数和积分

**双曲正弦函数的导数：**

sinh'x = cosh x

**双曲余弦函数的导数：**

cosh'x = sinh x

**双曲正弦函数的积分：**

∫ sinh x dx = cosh x + C

**双曲余弦函数的积分：**

∫ cosh x dx = sinh x + C

#### 2.1.2 图像和性质

**图像：**

双曲正弦函数和双曲余弦函数的图像都是关于原点对称的曲线。双曲正弦函数的图像在 x 轴上方，双曲余弦函数的图像在 x 轴下方。

**性质：**

* **奇偶性：**双曲正弦函数是奇函数，双曲余弦函数是偶函数。
* **单调性：**双曲正弦函数在整个实数范围内单调递增，双曲余弦函数在整个实数范围内单调递减。
* **范围：**双曲正弦函数的取值范围为 [-∞, ∞]，双曲余弦函数的取值范围为 [1, ∞]。

### 2.2 双曲正弦函数与双曲正切函数

#### 2.2.1 导数和积分

**双曲正切函数的导数：**

tanh'x = sech² x

**双曲正弦函数与双曲正切函数的积分：**

∫ sinh x / cosh x dx = tanh x + C

#### 2.2.2 图像和性质

**图像：**

双曲正弦函数和双曲正切函数的图像都是关于原点对称的曲线。双曲正弦函数的图像在 x 轴上方，双曲正切函数的图像在 x 轴下方。

**性质：**

* **奇偶性：**双曲正弦函数是奇函数，双曲正切函数是奇函数。
* **单调性：**双曲正弦函数在整个实数范围内单调递增，双曲正切函数在 (-∞, 0) 范围内单调递增，在 (0, ∞) 范围内单调递减。
* **范围：**双曲正弦函数的取值范围为 [-∞, ∞]，双曲正切函数的取值范围为 (-1, 1)。

### 2.3 双曲正弦函数与双曲余切函数

#### 2.3.1 导数和积分

**双曲余切函数的导数：**

coth'x = -cs