双曲正弦函数复合函数求导与积分：揭秘复合奥秘

# 1. 双曲正弦函数的定义与性质

**1.1 定义**

双曲正弦函数（sinh）是双曲函数的一种，定义为：

sinh(x) = (e^x - e^(-x)) / 2

**1.2 性质**

* 奇函数：sinh(-x) = -sinh(x)
* 单调递增：sinh(x) > 0 对于 x > 0
* 导数：sinh'(x) = cosh(x)
* 反函数：arsinh(x) = ln(x + sqrt(x^2 + 1))

# 2. 复合函数求导的理论基础

### 2.1 链式法则

复合函数的求导规则称为链式法则。它描述了如何求导复合函数，即一个函数的函数。

**链式法则：**

[f(g(x))]' = f'(g(x)) * g'(x)

其中：

* `f(x)` 是外函数
* `g(x)` 是内函数
* `f'(x)` 是 `f(x)` 的导数
* `g'(x)` 是 `g(x)` 的导数

**证明：**

设 `y = f(g(x))`。则：

dy/dx = lim(Δy/Δx)

其中：

Δy = f(g(x + Δx)) - f(g(x))
Δx = Δx

代入并化简：

dy/dx = lim[(f(g(x + Δx)) - f(g(x))) / Δx]
= lim[f(g(x + Δx)) / (g(x + Δx) - g(x)) * (g(x + Δx) - g(x)) / Δx]
= lim[f(g(x + Δx)) / (g(x + Δx) - g(x))] * lim[(g(x + Δx) - g(x)) / Δx]
= f'(g(x)) * g'(x)

### 2.2 复合函数的求导公式

使用链式法则，可以导出复合函数求导的通用公式：

**复合函数求导公式：**

[f(g(x))]' = f'(g(x)) * g'(x)
[g(h(x))]' = g'(h(x)) * h'(x)
[h(k(x))]' = h'(k(x)) * k'(x)

其中：

* `f(x)`、`g(x)`、`h(x)`、`k(x)` 是函数
* `f'(x)`、`g'(x)`、`h'(x)`、`k'(x)` 是相应函数的导数

**例：**

求导复合函数 `f(x) = sin(x^2)`：

f'(x) = cos(x^