双曲正弦函数级数收敛性：揭秘收敛秘密

# 1. 双曲正弦函数的定义和性质

双曲正弦函数，记为 sinh(x)，是双曲函数族中的一种，其定义为：

sinh(x) = (e^x - e^(-x)) / 2

其中，e 是自然对数的底数，约为 2.71828。

双曲正弦函数具有以下性质：

* 奇函数：sinh(-x) = -sinh(x)
* 单调递增：x > 0 时，sinh(x) > 0；x < 0 时，sinh(x) < 0
* 导数：sinh'(x) = cosh(x)
* 积分：∫ sinh(x) dx = cosh(x) + C

# 2. 级数收敛性的理论基础

### 2.1 柯西收敛准则

#### 2.1.1 柯西收敛准则的定义和证明

**定义：**

柯西收敛准则指出，如果一个实数序列 $\{a_n\}$ 满足对于任意给定的正数 $\varepsilon > 0$，都存在正整数 $N$，使得当 $m, n > N$ 时，有

$$|a_m - a_n| < \varepsilon$$

则序列 $\{a_n\}$ 收敛。

**证明：**

假设序列 $\{a_n\}$ 满足柯西收敛准则。对于任意给定的正数 $\varepsilon > 0$，存在正整数 $N$，使得当 $m, n > N$ 时，有

$$|a_m - a_n| < \varepsilon$$

令 $m \to \infty$，得到

$$|a_n - L| < \varepsilon$$

其中 $L = \lim_{m \to \infty} a_m$。因此，序列 $\{a_n\}$ 收敛到 $L$。

#### 2.1.2 柯西收敛准则的应用

柯西收敛准则可以用来证明实数序列的收敛性。例如，考虑序列

$$a_n = \frac{1}{n}$$

对于任意给定的正数 $\varepsilon > 0$，取 $N = \lceil \frac{1}{\varepsilon} \rceil$。当 $m, n > N$ 时，有

$$|a_m - a_n| = \left| \frac{1}{m} - \frac{1}{n} \right| = \frac{|m - n|}{mn} < \frac{1}{N^2} < \varepsilon$$

因此，序列 $\{a_n\}$ 满足柯西收敛准则，从而收敛到 $0$。

### 2.2 绝对收敛准则

#### 2.2.1 绝对收敛准则的定义和证明

**定义：**

绝对收敛准则指出，如果一个实数序列 $\{a_n\}$ 满足

$$\sum_{n=1}^\infty |a_n| < \infty$$

则序列 $\{a_n\}$ 收敛。

**证明：**

令 $b_n = |a_n|$。则序列 $\{b_n\}$ 是非负的。根据比较准则，如果 $\sum_{n=1}^\infty b_n$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^\infty a_n$ 也收敛。

由于

$$\sum_{n=1}^\infty b_n = \sum_{n=1}^\infty |a_n| < \infty$$

因此，序列 $\{b_n\}$ 收敛。从而，序列