双曲正弦函数极限与连续性：深入理解本质

# 1. 双曲正弦函数的定义与性质**

双曲正弦函数（sinh）是双曲函数族中的一员，其定义为：

sinh(x) = (e^x - e^(-x)) / 2

其中，x 是实数。

双曲正弦函数具有以下性质：

* 奇函数：sinh(-x) = -sinh(x)
* 单调递增：sinh(x) > 0 对于 x > 0
* 反双曲正弦函数：sinh^-1(x) = ln(x + sqrt(x^2 + 1))
* 与双曲余弦函数的关系：cosh^2(x) - sinh^2(x) = 1

# 2. 双曲正弦函数极限的理论基础

### 2.1 极限的概念和基本性质

**极限的概念：**

极限是函数在自变量趋近某个值时，函数值趋近的固定值。

**基本性质：**

* **加法性质：**若 lim x->a f(x) = L1 和 lim x->a g(x) = L2，则 lim x->a [f(x) + g(x)] = L1 + L2。
* **乘法性质：**若 lim x->a f(x) = L1 和 lim x->a g(x) = L2，则 lim x->a [f(x) * g(x)] = L1 * L2。
* **常数倍性质：**若 lim x->a f(x) = L，则 lim x->a [c * f(x)] = c * L，其中 c 为常数。
* **夹逼定理：**若 lim x->a f(x) = lim x->a g(x) = L，且 f(x) ≤ h(x) ≤ g(x) 在 x->a 时成立，则 lim x->a h(x) = L。

### 2.2 双曲正弦函数的极限计算方法

双曲正弦函数 sinh(x) 的极限计算方法主要有以下几种：

**1. 直接代入法：**

若 lim x->a sinh(x) 存在，则直接将 x = a 代入 sinh(x) 计算即可。

**2. 泰勒级数展开法：**

sinh(x) 的泰勒级数展开式为：

sinh(x) = x + (x^3)/3! + (x^5)/5! + ...

对于 x 趋近于 0 的情况，可截断泰勒级数得到：

sinh(x) ≈ x + (x^3)/3!

因此，lim x->0 sinh(x) = 0。

**3. 夹逼定理法：**

利用 sinh(x) 在 x 趋近于无穷大时介于 e^x 和 -e^x 之间，可得：

-e^x ≤ sinh(x) ≤ e^x

由于 lim x->∞ e^x = ∞，lim x->∞ -e^x = -∞，根据夹逼定理，可得 lim x->∞ sinh(x) = ∞。

**代码块：**

import numpy as np

def sinh(x):
  """双曲正弦函数。

  Args:
    x: 输入值。

  Returns:
    双曲正弦值。
  """

  return (np.exp(x) - np.exp(-x)) / 2

**逻辑分析：**

该代码块实现了双曲正弦函数的计算。它使用 numpy 库中的 exp 函数来计算 e 的幂，并根据双曲正弦函数的定义计算结果。

**参数说明：**

* x：输入值，可以是标量或数组。

**代码块：**

x = np.linspac