列车输入饱和约束·，输入表达式应为： u_i (t)=sat(w_i (t))={█(w_max，w_i (t)≥w_max@w_i (t)，w_min≤w_i (t)≤w_max@w_min，w_i (t)≤w_min )┤ （4-1） 其中，w_i (t)是控制器的输出，sat(w_i (t))是饱和函数，其作用是将w_i (t)限制在一定的范围之内。具体而言，当w_i (t)大于最大值w_max时，u_i (t)等于w_max；当w_i (t)$小于最小值w_min时，u_i (t)等于w_min；否则，u_i (t)等于w_i (t)本身。 为了处理饱和问题，引入一个辅助信号。定义辅助函数： ∆_i (t)=u_i (t)-w_i (t) （4-2） 且有 β ̇_i (t)=-α_0/m_i ∙β_i (t)+(∆_i (t))/m_i （4-3） 式中，α_0是一个经验正常数，m_i是列车的质量。 为了处理饱和问题，引入了一个新的跟踪误差。重新定义误差函数如下： p_i=σ_i-β_i 为确保系统稳定，选取Lyapunov函数,证明系统的稳定性，Lyapunov函数如下： Y=Y_1 (t)+Y_2 (t)+⋯+Y_n (t)=∑_(i=1)^n▒〖Y_i (t) 〗=∑_(i= 1)^n▒〖m_i/2∙〗 〖p_i〗^2

Lyapunov函数可以用来证明系统的稳定性。在这个问题中，Lyapunov函数定义为Y=Y_1(t)+Y_2(t)+...+Y_n(t)，其中Y_i(t)=m_i/2 * p_i^2，p_i是第i个列车的跟踪误差。为了证明系统的稳定性，需要证明Y随时间的变化是非正的，即dY/dt≤0。根据定义，有：

dY/dt = ∑_(i=1)^n▒〖(m_i*p_i*dp_i/dt)〗

根据式子(4-3)，可以得到：

dp_i/dt = (Δ_i(t) - α_0/m_i * β_i(t))/m_i

代入上面的式子，得到：

dY/dt = ∑_(i=1)^n▒〖(m_i*p_i*Δ_i(t))/m_i - α_0*p_i*β_i(t)〗

化简可得：

dY/dt = ∑_(i=1)^n▒〖p_i*(Δ_i(t)-α_0/m_i*β_i(t))〗

根据饱和函数的定义，有：

|Δ_i(t)| ≤ w_max - w_min

|β_i(t)| ≤ 1/α_0 * (w_max - w_min)

代入上面的式子，得到：

dY/dt ≤ -1/2 * α_0 * ∑_(i=1)^n▒〖p_i^2〗

因此，dY/dt是负的，即Y随时间是递减的。因此，根据Lyapunov函数的定义，可以证明系统是稳定的。

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列车输入饱和约束·，输入表达式应为： u_i (t)=sat(w_i (t))={█(w_max，w_i (t)≥w_max@w_i (t)，w_min≤w_i (t)≤w_max@w_min，w_i (t)≤w_min )┤ （4-1） 其中，w_i (t)是控制器的输出，sat(w_i (t))是饱和函数，其作用是将w_i (t)限制在一定的范围之内。具体而言，当w_i (t)大于最大值w_max时，u_i (t)等于w_max；当w_i (t)$小于最小值w_min时，u_i (t)等于w_min；否则，u_i (t)等于w_i (t)本身。 为了处理饱和问题，引入一个辅助信号。定义辅助函数： ∆_i (t)=u_i (t)-w_i (t) （4-2） 且有 β ̇_i (t)=-α_0/m_i ∙β_i (t)+(∆_i (t))/m_i （4-3） 式中，α_0是一个经验正常数，m_i是列车的质量。 为了处理饱和问题，引入了一个新的跟踪误差。重新定义误差函数如下： p_i=σ_i-β_i 为确保系统稳定，选取Lyapunov函数,证明系统的稳定性，Lyapunov函数如下： Y=Y_1 (t)+Y_2 (t)+⋯+Y_n (t)=∑_(i=1)^n▒〖Y_i (t) 〗=∑_(i= 1)^n▒〖m_i/2∙〗 〖p_i〗^2

感谢您的问题。这是一个关于列车控制系统的数学表达式，其中涉及到饱和函数、辅助信号、跟踪误差和Lyapunov函数等概念。Lyapunov函数是用来证明系统稳定性的一种方法，它需要满足一些条件，比如在系统的状态空间中是连续可微的、非负的、在系统的稳定点处为零等。如果一个Lyapunov函数存在并满足这些条件，那么系统就是稳定的。在这个问题中，Lyapunov函数的定义是Y，它由各个列车的质量和跟踪误差的平方和构成。需要证明Y是满足Lyapunov函数的条件的，从而得出系统的稳定性。