已知线性规划问题 min 12x1+8x2+16x3+12x4, s.t. 2x1+x2+4x3>=2, 2x1+2x2 +4x4>=3, xj>=0, j=1,...,4. 采用对偶单纯形法， 求出该问题的最优解和最优目标函数值。

首先将原始问题转化为标准形式：

min 12x1+8x2+16x3+12x4

s.t. 2x1+x2+4x3+x5=2

2x1+2x2+4x4+x6=3

xj>=0, j=1,...,6

其中x5和x6为人工变量，目标函数中没有它们的系数。

接下来构造对偶问题：

max 2y1+3y2

s.t. 2y1+2y2<=12

y1+y2<=8

4y1+4y2<=16

y1,y2>=0

其中y1和y2为对应的约束条件的对偶变量。

接下来使用对偶单纯形法求解对偶问题，得到最优解为y1=2，y2=3，最优目标函数值为2*2+3*3=13。

最后，根据对偶理论，原始问题的最优解等于对偶问题的最优解，即最优解为x1=0，x2=0，x3=1/2，x4=0，最优目标函数值为13/2。