已知线性规划问题 min 12x1+8x2+16x3+12x4, s.t. 2x1+x2+4x3>=2, 2x1+2x2 +4x4>=3, xj>=0, j=1,...,4. 采用对偶单纯形法, 求出该问题的最优解和最优目标函数值。
时间: 2024-01-01 08:06:37 浏览: 43
首先将原始问题转化为标准形式:
min 12x1+8x2+16x3+12x4
s.t. 2x1+x2+4x3+x5=2
2x1+2x2+4x4+x6=3
xj>=0, j=1,...,6
其中x5和x6为人工变量,目标函数中没有它们的系数。
接下来构造对偶问题:
max 2y1+3y2
s.t. 2y1+2y2<=12
y1+y2<=8
4y1+4y2<=16
y1,y2>=0
其中y1和y2为对应的约束条件的对偶变量。
接下来使用对偶单纯形法求解对偶问题,得到最优解为y1=2,y2=3,最优目标函数值为2*2+3*3=13。
最后,根据对偶理论,原始问题的最优解等于对偶问题的最优解,即最优解为x1=0,x2=0,x3=1/2,x4=0,最优目标函数值为13/2。
相关问题
已知线性规划问题 min 12x1+8x2+16x3+12x4 , s.t. 2x1+x2+4x3>=2 2x1+2x2+4x4>=3 xj>=0,j=1,2,3,4. 设计对偶单纯形法的算法,求解线性规划问题的最优解和最优目标函数值。用python编程实现
对于线性规划问题 min 12x1+8x2+16x3+12x4 , s.t. 2x1+x2+4x3>=2, 2x1+2x2+4x4>=3, xj>=0,j=1,2,3,4,其对偶问题为 max 2y1+3y2 , s.t. 2y1+2y2<=12, y1+2y2<=8, 4y1+4y2<=16, y2<=12,其中 yj>=0,j=1,2。
对偶单纯形法的算法如下:
1. 初始化,令基本变量为y1,y2,非基本变量为0,求出对偶问题的初始解。
2. 对偶单纯形迭代:
(1)计算出当前对偶问题的解在原问题中的可行解,即计算出x1,x2,x3,x4。
(2)计算出原问题的目标函数值。
(3)如果原问题的目标函数值不为最优,则继续迭代;否则停止迭代。
3. 返回原问题的最优解和最优目标函数值。
Python代码实现如下:
python已知线性规划问题 Min 12x1+8x2+16x3+12x4, s.t. 2x1+x2+4x3>=2, 2x1+2x2+4x4>=3, Xj>=0,j=1,…,4. 设计对偶单纯形法的算法,求解线性规划问题的最优解和最优目标函数值。
对偶单纯形法是一种用于解决线性规划问题的算法。它通过求解原问题的对偶问题来得到原问题的最优解。下面是对偶单纯形法的算法步骤:
1. 将原问题转化为标准形式,即将约束条件转化为等式,并添加人工变量。
2. 根据对偶理论,从原问题的对偶问题开始。
3. 初始化对偶问题的单纯形表。
4. 对对偶问题的单纯形表进行迭代,直到找到最优解或确定原问题无界。
5. 如果对偶问题的最优解不为0,则原问题无可行解;如果对偶问题的最优解为0,则原问题有可行解。
6. 如果原问题有可行解,则从对偶问题的最优解中计算出原问题的最优解和最优目标函数值。
下面是将原问题转化为标准形式的过程:
Min 12x1+8x2+16x3+12x4
s.t.
2x1+x2+4x3>=2
2x1+2x2+4x4>=3
Xj>=0,j=1,…,4
将约束条件转化为等式,添加人工变量:
Min 12x1+8x2+16x3+12x4
s.t.
2x1+x2+4x3+s1=2
2x1+2x2+4x4+s2=3
Xj>=0,j=1,…,4
添加人工变量s1和s2,并将它们的系数设为1,目标函数中的系数不变。
下面是对偶问题的表达式:
Max 2y1+3y2
s.t.
2y1+2y2<=12
y1+2y2<=8
4y1+4y2<=16
y1,y2>=0
对偶问题的单纯形表如下:
| BV | y1 | y2 | RHS |
| s1 | 2 | 2 | 12 |
| s2 | 1 | 2 | 8 |
| y3 | 4 | 4 | 16 |
| z | -2 | -3 | 0 |
根据单纯形算法,我们可以通过迭代来找到最优解。下面是对偶单纯形法的迭代步骤:
1. 选择进入变量:在目标函数行中选择系数最小的负数,即选择y2。
2. 选择离开变量:在第二列中选择系数最小的正数所对应的行,即选择s1。
3. 对第二列进行初等行变换,使得离开变量所在行的系数为1:除以2。
4. 对其他列进行初等列变换,使得离开变量所在列的元素为0:将第一列中的元素都乘以2,将第三列中的元素都乘以2。
5. 更新单纯形表。
| BV | y1 | y2 | RHS |
| y2 | 1 | 1 | 6 |
| s2 | 0 | 1 | 2 |
| y3 | 0 | 0 | 4 |
| z | 0 | -1 | -18 |
6. 如果目标函数行中没有负数,则找到最优解,否则返回步骤1。
根据上述迭代步骤,我们可以得到对偶问题的最优解为y1=0,y2=6/2=3,y3=0,最优目标函数值为0。
由于对偶问题的最优解为0,原问题有可行解。根据对偶理论,原问题的最优解应该等于对偶问题的最优目标函数值,即12x1+8x2+16x3+12x4=0*2+3*3=9。
因此,原问题的最优解为x1=0,x2=0,x3=1/2,x4=0,最优目标函数值为9。
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