已知线性规划 min 12x1+8x2+16x3+12x4; s.t 2x1+x2+4x3>=2; 2x1+2x2+4x4>=3; x1>0,x2>0,x3>0,x4>0 用对偶单纯形法求解线性规划问题的最优解和最优目标函数值

首先，将原始问题转化为对偶问题。

对偶问题的目标函数为：$max\ 2y_1 + 3y_2$

约束条件为：

$2y_1 + 2y_2 \leq 12$

$y_1 + 2y_2 \leq 8$

$4y_1 + 4y_2 \leq 16$

对偶问题的初始可行解为 $y_1 = 0, y_2 = 0$。

接下来，使用对偶单纯形法求解对偶问题。

| 基变量 | $y_1$ | $y_2$ | 松弛变量 | 右端项 |
|--------|-------|-------|----------|--------|
| $y_1$ | 1 | 0 | -2 | 0 |
| $y_2$ | 0 | 1 | -2 | 0 |
| z | -2 | -3 | 0 | 0 |

第一次迭代：

选取进入变量：$y_1$

选取离开变量：$x_1$

| 基变量 | $y_1$ | $y_2$ | 松弛变量 | 右端项 |
|--------|-------|-------|----------|--------|
| $x_1$ | 1/2 | 1/4 | 1 | 1/2 |
| $y_2$ | -1/2 | 1/4 | 3/2 | 1/2 |
| z | -1 | -5/4 | 1/2 | 6 |

第二次迭代：

选取进入变量：$y_2$

选取离开变量：$x_2$

| 基变量 | $y_1$ | $x_2$ | 松弛变量 | 右端项 |
|--------|-------|-------|----------|--------|
| $x_1$ | 1/3 | 0 | 4/3 | 2/3 |
| $y_2$ | -1/3 | 1 | -1/3 | 1/3 |
| z | -14/3 | 0 | 5/3 | 26/3 |

第三次迭代：

已经达到最优解。

最优解为：$y_1=1/3,y_2=1/3$，对应的最优目标函数值为 $26/3$。

因此，原始问题的最优解为：$x_1=2/3,x_2=1/3,x_3=0,x_4=0$，对应的最优目标函数值为 $26/3$。