微带环形电桥s矩阵推导

微带环形电桥是一种常用的微波传输线路，用于测量微弱信号。其结构如下图所示：


其中，$d$ 表示微带线的宽度，$w$ 表示环的宽度，$l$ 表示微带线的长度，$h$ 表示微带线与地面板之间的距离。

我们可以通过求解微带环形电桥的 $S$ 参数来分析其传输特性。下面是推导过程：

首先，根据微带线的特性阻抗公式，可以得到微带线的阻抗为：

$$
Z_0=\frac{Z_{\text{eff}}}{\sqrt{\epsilon_{\text{eff}}}}
$$

其中，$Z_{\text{eff}}$ 为微带线的特性阻抗，$\epsilon_{\text{eff}}$ 为微带线的等效介电常数。

对于一个环形电桥，其等效电路如下图所示：


其中，$Z_{\text{in1}}$ 和 $Z_{\text{in2}}$ 分别表示两个微带线的输入阻抗，$Z_{\text{out1}}$ 和 $Z_{\text{out2}}$ 分别表示两个微带线的输出阻抗。

我们可以通过匹配电路的方法来求解 $Z_{\text{in1}}$ 和 $Z_{\text{in2}}$。首先，假设 $Z_{\text{out1}}=Z_{\text{out2}}=Z_0$，则环形电桥的等效电路如下图所示：


由于输入端口阻抗相同，因此可以将电路简化为以下形式：


其中，$Z_{\text{in}}$ 表示环形电桥的输入阻抗，$Z_1$ 和 $Z_2$ 分别表示两个微带线的特性阻抗。

根据电路分析知识，可以得到：

$$
Z_{\text{in}}=Z_0\frac{Z_1^2+Z_2^2+2Z_1Z_2\cos(\beta l)}{Z_1+Z_2+2Z_1Z_2/Z_0\cos(\beta l)}
$$

其中，$\beta$ 表示微带线的传输常数，$\beta=\frac{2\pi}{\lambda}\sqrt{\epsilon_{\text{eff}}}$。

由于微带环形电桥的输入输出端口是对称的，因此可以得到：

$$
S_{11}=S_{22}=\frac{Z_{\text{in}}-Z_0}{Z_{\text{in}}+Z_0}
$$

$$
S_{21}=S_{12}=-\frac{2Z_0}{Z_{\text{in}}+Z_0}
$$

将 $Z_{\text{in}}$ 代入上式中，即可得到微带环形电桥的 $S$ 参数。