arnoldi算法近似Koopman算子的特征值和特征向量的代码

由于Koopman算子通常是无限维的，因此需要使用一些数值方法来近似其特征值和特征向量。其中一种常用的方法是Arnoldi算法。以下是一个Python实现的Arnoldi算法，用于近似Koopman算子的特征值和特征向量：

import numpy as np

def arnoldi(K, v, m):
    """
    Arnoldi算法用于近似Koopman算子的特征值和特征向量

    Args:
        K: Koopman算子的矩阵表示
        v: 初始向量
        m: Arnoldi迭代次数

    Returns:
        Q: 基矢量组成的正交矩阵
        H: 上Hessenberg矩阵
    """
    n = K.shape[0]
    Q = np.zeros((n, m+1))
    H = np.zeros((m+1, m))
    Q[:, 0] = v / np.linalg.norm(v)

    for j in range(m):
        w = K @ Q[:, j]
        for i in range(j+1):
            H[i, j] = Q[:, i] @ w
            w = w - H[i, j] * Q[:, i]
        H[j+1, j] = np.linalg.norm(w)
        if H[j+1, j] == 0:
            break
        Q[:, j+1] = w / H[j+1, j]

    return Q[:, :j+1], H[:j+1, :]

使用该函数可以得到Koopman算子的近似特征值和特征向量：

K = ...  # Koopman算子的矩阵表示
v = ...  # 初始向量
m = ...  # Arnoldi迭代次数

Q, H = arnoldi(K, v, m)
eigvals, eigvecs = np.linalg.eig(H)
eigvecs = Q @ eigvecs

其中，`eigvals`是Hessenberg矩阵的特征值，`eigvecs`是Koopman算子的近似特征向量。可以通过对`eigvals`进行排序来选择最大的几个特征值和对应的特征向量，以近似Koopman算子的主要动力学特征。