下面这个折半查找算法正确吗？如果正确，请给出算法的正确性证明，如果不正确，请说明产生错误的原因。 int BinSearch(int r[ ]. int n, int k) int low = 0, high -ri; int mid; while (low <= high) mid = low + high) / 2; if (k <t[mid]) high =mid; else if (k > r[mid]) low = mid: else return mid; ] return 0:

这个折半查找算法是有错误的。错误在于第二行代码中等号右侧的变量名应该是 "ri" 而不是 "r[ ]"。

如果将这个错误改正过来，即将第二行代码修改为 "int low = 0, high = ri;"，则这个算法就成为了一个标准的折半查找算法。

下面是这个算法的正确性证明：

首先，算法的前提是数组 r[] 已经按照从小到大的顺序排好了序。然后，算法维护两个指针 low 和 high，分别指向数组的第一个元素和最后一个元素。每次循环中，算法计算出中间元素的下标 mid，并将 mid 与目标值 k 进行比较。如果 k 小于 r[mid]，则目标值在数组的左半部分，需要将 high 指针移动到 mid 的左边；如果 k 大于 r[mid]，则目标值在数组的右半部分，需要将 low 指针移动到 mid 的右边；如果 k 等于 r[mid]，则找到了目标值，返回 mid。

每次循环中，算法都会将搜索范围减半。因为数组已经排好序，所以每次比较都可以排除掉一半的元素。因此，算法的时间复杂度为 O(log n)。

最后，如果目标值不在数组中，算法会在 low > high 的时候退出循环，并返回 0。这是因为 low 和 high 指针相遇时，搜索范围已经缩小到了一个空区间，说明目标值不存在于数组中。

综上所述，这个算法是正确的。

相关问题

证明快速幂算法的正确性

快速幂算法是一种用来求解大数取模的算法，其基本思想是将指数不断折半，从而使得指数的计算量大大降低。快速幂算法的正确性可以通过数学归纳法来证明。

假设我们要计算 $a^b \mod c$，其中 $a, b, c$ 均为正整数，且 $b$ 的二进制表示为 $b_k b_{k-1} \cdots b_1 b_0$，则有：

$$
a^b \mod c = a^{b_k 2^k + b_{k-1} 2^{k-1} + \cdots + b_1 2 + b_0} \mod c
$$

根据模运算的性质，我们可以将上式改写为：

$$
a^b \mod c = [a^{2^k}]^{b_k} \cdot [a^{2^{k-1}}]^{b_{k-1}} \cdots [a^2]^{b_1} \cdot a^{b_0} \mod c
$$

接下来，我们可以定义 $x_i = [a^{2^i}]^{b_i} \mod c$，则有：

$$
a^b \mod c = x_k \cdot x_{k-1} \cdots x_1 \cdot x_0 \mod c
$$

现在我们可以利用数学归纳法证明快速幂算法的正确性。当 $k=0$ 时，显然有 $a^b \mod c = a^{b_0} \mod c = a^{2^0 b_0} \mod c = a^{2^0} \mod c = a \mod c$，因此快速幂算法在这种情况下是正确的。

假设当 $k \leq n$ 时，快速幂算法都是正确的，则当 $k=n+1$ 时，我们有：

$$
\begin{aligned}
a^b \mod c &= x_k \cdot x_{k-1} \cdots x_1 \cdot x_0 \mod c \\
&= [a^{2^k}]^{b_k} \cdot [a^{2^{k-1}}]^{b_{k-1}} \cdots [a^2]^{b_1} \cdot a^{b_0} \mod c \\
&= [a^{2^k}]^{b_k} \cdot [a^{2^{k-1}}]^{b_{k-1}} \cdots [a^2]^{b_1} \cdot [a^2]^{b_0 \div 2} \cdot [a^2]^{b_0 \bmod 2} \mod c \\
&= [a^{2^k}]^{b_k} \cdot [a^{2^{k-1}}]^{b_{k-1}} \cdots [a^2]^{b_1} \cdot [a^{2}]^{b_0 \div 2} \cdot [a^{2}]^{b_0 \bmod 2} \mod c \\
&= [a^{2^{k+1}}]^{b_k} \cdot [a^{2^k}]^{b_{k-1}} \cdots [a^2]^{b_1} \cdot [a^{2}]^{b_0 \div 2} \cdot [a^{2}]^{b_0 \bmod 2} \mod c \\
&= [a^{2^{k+1}}]^{b_k} \cdot x_{k-1} \cdots x_1 \cdot [a^{2}]^{b_0 \div 2} \cdot [a^{2}]^{b_0 \bmod 2} \mod c \\
&= [a^{2^{k+1}}]^{b_k} \cdot x_{k-1} \cdots x_1 \cdot a^{b_0 \div 2} \cdot a^{b_0 \bmod 2} \mod c \\
&= [a^{2^{k+1}}]^{b_k} \cdot x_{k-1} \cdots x_1 \cdot (a^{2})^{b_0 \div 2} \cdot a^{b_0 \bmod 2} \mod c \\
&= [a^{2^{k+1}}]^{b_k} \cdot x_{k-1} \cdots x_1 \cdot a^{b_0} \mod c \\
&= [a^{2^{k+1}}]^{b_k} \cdot x_{k-1} \cdots x_1 \cdot x_0 \mod c
\end{aligned}
$$

因此，我们证明了当 $k=n+1$ 时快速幂算法的正确性。由数学归纳法可以得出，快速幂算法对于任何 $k$ 均是正确的。因此，我们证明了快速幂算法的正确性。

有序表的折半查找算法。

C++中有序表的折半查找算法，也称为二分查找算法，是一种高效的查找方法。它的基本思想是：将有序表分成两部分，取中间位置的元素与查找关键字进行比较，如果相等，则查找成功；否则根据中间位置元素与查找关键字的大小关系确定下一步查找哪个子表，重复以上过程，直到查找成功或查找失败为止。

下面是C++中有序表的折半查找算法的代码实现：

int binarySearch(int arr[], int left, int right, int target) {
    while (left <= right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (arr[mid] == target) {
            return mid;
        } else if (arr[mid] < target) {
            left = mid + 1;
        } else {
            right = mid - 1;
        }
    }
    return -1;
}

其中，arr为有序表，left和right分别为有序表的左右边界，target为要查找的关键字。函数返回值为查找到的元素在有序表中的下标，如果查找失败则返回-1。

需要注意的是，使用折半查找算法的前提是有序表必须是有序的，否则无法保证查找结果的正确性。