请用数学公式来表，逻辑回归的数学模型

逻辑回归是一种广泛用于分类任务的统计学方法，它基于sigmoid函数构建概率预测模型。该模型假设输入特征与输出类别之间存在线性关系，并通过一个可学习的权重参数进行拟合。其数学形式通常表示为：

给定输入特征向量 \( \mathbf{x} = (x_1, x_2, ..., x_n) \)，每个特征对应的权重系数为 \( w_1, w_2, ..., w_n \)，还有一个偏置项 \( b \)，逻辑回归的目标是找到这样的参数组合使得：

\[ h(\mathbf{x}) = P(y=1|\mathbf{x}) = \frac{1}{1 + e^{-(\mathbf{w}^\top\mathbf{x} + b)}} \]

这里，\( h(\mathbf{x}) \) 表示给定特征下样本属于正类别的概率，\( e \) 是自然对数的底数。当 \( h(\mathbf{x}) \) 接近于1，我们预测正类；反之，若接近于0，则预测负类。

相关问题

逻辑回归算法的数学原理

逻辑回归是一种二分类算法，其数学原理基于sigmoid函数。sigmoid函数可以将任意实数映射到0到1之间的概率值，其公式为：

$$
sigmoid(z) = \frac{1}{1+e^{-z}}
$$

其中，$z$为输入的线性函数，可以表示为：

$$
z = \theta_0 + \theta_1 x_1 + \theta_2 x_2 + ... + \theta_n x_n
$$

其中，$\theta$为模型参数，$x$为特征值。通过最大化似然函数，可以得到模型参数的最优解，从而得到一个能够对新样本进行分类的模型。

python不使用库构建逻辑回归模型代码进行预测

回答：可以使用numpy库和数学公式手动构建逻辑回归模型代码进行预测。首先需要定义sigmoid函数，然后使用梯度下降算法对模型进行优化，最后使用模型进行预测。实现代码如下：

import numpy as np

def sigmoid(x):
    return 1 / (1 + np.exp(-x))

# 训练模型
def train(X, y, learning_rate=0.01, n_iterations=1000):
    m, n = X.shape
    # 添加偏置项
    X_b = np.c_[np.ones((m,1)), X]
    # 初始化theta
    theta = np.random.randn(n+1, 1)
    # 更新theta
    for iteration in range(n_iterations):
        gradients = 1/m * X_b.T.dot(sigmoid(X_b.dot(theta)) - y)
        theta = theta - learning_rate * gradients
    return theta

# 预测
def predict(X, theta):
    m, n = X.shape
    # 添加偏置项
    X_b = np.c_[np.ones((m,1)), X]
    # 预测概率
    y_proba = sigmoid(X_b.dot(theta))
    # 使用0.5作为阈值，对概率进行分类
    y_predict = (y_proba >= 0.5)
    return y_predict

使用方法：

# 构造训练集和测试集
X_train = np.array([[1, 2], [2, 4], [3, 6], [4, 8]])
y_train = np.array([[0], [0], [1], [1]])
X_test = np.array([[5, 10]])

# 训练模型
theta = train(X_train, y_train)

# 预测
y_predict = predict(X_test, theta)
print(y_predict)

输出结果为：`[[ True]]`