P1054 [NOIP2005 提高组] 等价表达式

### NOIP2005 提高组 等价表达式 题目解析

#### 背景介绍
NOIP（全国青少年信息学奥林匹克联赛）是中国面向中学生的信息学竞赛活动。自2010年起，比赛形式和内容发生了显著的变化，在此之前的题目更侧重于搜索加剪枝算法以及一些基础的数据结构[^2]。

对于特定年份的具体题目分析，如NOIP2005提高组中的等价表达式问题，则需深入探讨其特点和技术要点。

#### 题目概述
本题涉及逻辑运算符`? :`构成的条件表达式，即三元操作符的形式：<表达式1>?<表达式2>:<表达式3>。给定两个由这种特殊语法构建起来的字符串表示法下的布尔表达式A和B，判断它们是否为等价表达式。所谓等价意味着无论输入变量取何值时两者的结果都相同[^1]。

#### 关键概念理解
- **真值表**：为了验证两者的等效性，可以通过枚举所有可能的情况来建立每个表达式的真值表。
- **化简规则**：利用已知的代数定律简化复杂的表达式有助于减少计算量并加快比较速度。

#### 解决方案设计
一种有效的策略是从最简单的子表达式开始逐步向上处理整个树状结构：

1. 对于基本类型的常量直接返回对应的布尔值；
2. 当遇到形如`a ? b : c`这样的节点时，
- 如果左侧分支`a`恒等于true则整体结果取决于中间部分`b`;
- 否则若总是false那么最终答案就是右侧选项`c`.
3. 使用递归来实现上述过程直到遍历完整棵表达式树为止。

通过这种方法可以在合理的时间复杂度内完成任意长度合法输入串之间的对比工作。

def evaluate_expression(expr, var_values):
    """Evaluate ternary conditional expression with given variable assignments."""
    
    def helper(node):
        if isinstance(node, bool):  # Base case: constant value
            return node
        
        condition, true_branch, false_branch = parse_ternary(node)

        cond_val = helper(condition)
        
        branch_to_eval = true_branch if cond_val else false_branch
    
        return helper(branch_to_eval)

    parsed_expr = parse_input_string_into_ast(expr)  # Assume this function exists.
    assigned_vars = assign_variables(parsed_expr, var_values)  # Assign values to variables.

    result = helper(assigned_vars)
    return result


def check_equivalence(expr_a, expr_b, all_possible_inputs):
    """Check whether two expressions are equivalent over a set of inputs"""
    for input_combination in generate_all_combinations(all_possible_inputs):
        res_a = evaluate_expression(expr_a, input_combination)
        res_b = evaluate_expression(expr_b, input_combination)
        if res_a != res_b:
            return False
    return True

这段伪代码展示了如何评估单个表达式，并基于所有潜在输入组合检查两个表达式的等价关系。实际应用中还需要考虑更多细节，比如正确解析输入字符串、管理内存占用等问题。