用递归实现二分法插入排序

二分法插入排序通常用于已经部分有序的数组，通过递归的方式将新元素插入到已排序的部分的适当位置。这里是一个基本的递归实现思路：

1. 定义基本情况：如果数组只有一个元素或为空，直接返回，因为单个元素本身就是有序的。

def binary_insertion_sort(arr, index=0):
    if len(arr) <= 1:
        return arr

2. 分治策略：对于长度大于1的数组，首先找到中间元素`mid`，然后比较新元素`arr[index]`与`mid`。

3. 根据比较结果递归调用自身：如果新元素小于`mid`，则在左半部分（包括`mid`）继续应用插入排序；反之，在右半部分进行同样的操作。

def insertion_step(arr, index, mid):
    if index < mid and arr[mid] > arr[index]:
        # 如果中间元素比当前元素大，交换它们的位置
        arr[index], arr[mid] = arr[mid], arr[index]
    if index + 1 < len(arr):
        binary_insertion_sort(arr, index + 1)

# 当前元素未到达中间时，继续向右递归
def binary_insert(arr, index):
    mid = (index + 1) // 2
    insertion_step(arr, index, mid)
    binary_insertion_sort(arr, mid)  # 对剩余部分递归调用

4. 最后，当`index`遍历完整个数组后，递归结束，整个数组就被排序了。

递归实现二分插入排序的一个关键点是终止条件明确，并且每次划分都是对半进行的，这使得它在处理大型数据集时效率较高。