给出符号函数的傅里叶变换的推导公式

符号函数的定义如下：
$$\text{sgn}(x)=\begin{cases}
1 & x>0 \\
0 & x=0 \\
-1 & x<0
\end{cases}$$

我们需要求出其傅里叶变换：
$$\hat{f}(\xi)=\int_{-\infty}^{\infty}\text{sgn}(x)e^{-2\pi i\xi x}dx$$

首先考虑$x>0$的情况，此时：
$$\text{sgn}(x)=1$$
因此有：
$$\hat{f}(\xi)=\int_{0}^{\infty}e^{-2\pi i\xi x}dx=\frac{1}{2\pi i\xi}\left[e^{-2\pi i\xi x}\right]_{0}^{\infty}=\frac{1}{2\pi i\xi}\left(0-1\right)=-\frac{1}{2\pi i\xi}$$

类似地，当$x<0$时，有：
$$\text{sgn}(x)=-1$$
因此有：
$$\hat{f}(\xi)=\int_{-\infty}^{0}(-1)e^{-2\pi i\xi x}dx=\frac{1}{2\pi i\xi}\left[e^{-2\pi i\xi x}\right]_{-\infty}^{0}=\frac{1}{2\pi i\xi}\left(1-0\right)=\frac{1}{2\pi i\xi}$$

当$x=0$时，有：
$$\text{sgn}(x)=0$$
因此在积分中贡献为0。

综上所述，我们得到了符号函数的傅里叶变换：
$$\hat{f}(\xi)=\begin{cases}
-\frac{1}{2\pi i\xi} & \xi>0 \\
\frac{1}{2\pi i\xi} & \xi<0 \\
0 & \xi=0
\end{cases}$$