傅里叶变换的公式推导

傅里叶变换是一种将一个函数表示为一系列正弦和余弦函数的方法，它在信号处理、图像处理等领域有广泛的应用。下面是傅里叶变换的公式推导：

假设我们有一个函数f(t)，它是一个连续时间域的函数。我们希望将其转换为频域表示，即找到一组复数系数F(ω)，其中ω是频率。

首先，我们定义傅里叶变换公式如下：
F(ω) = ∫[−∞,∞] f(t) * e^(-jωt) dt

其中，e^(-jωt) 是欧拉公式中的复指数函数，j是虚数单位。

接下来，我们将f(t)展开为其傅里叶级数表示：
f(t) = ∑[−∞,∞] F(ω) * e^(jωt) dω

这个公式表示了函数f(t)可以由一系列复指数函数的线性组合来表示。

然后，我们将傅里叶变换公式代入傅里叶级数表示中：
f(t) = ∑[−∞,∞] (∫[−∞,∞] f(t') * e^(-jωt') dt') * e^(jωt) dω

接下来，我们交换积分的顺序，并将积分和求和符号合并：
f(t) = ∫[−∞,∞] (∑[−∞,∞] f(t') * e^(-jωt') * e^(jωt) dω) dt'

根据欧拉公式，我们可以将复指数函数e^(-jωt') * e^(jωt)简化为cos(ω(t-t')) + j*sin(ω(t-t'))。

继续化简，我们得到：
f(t) = ∫[−∞,∞] (∑[−∞,∞] f(t') * (cos(ω(t-t')) + j*sin(ω(t-t'))) dω dt'

根据三角函数的性质，我们可以将上式中的cos项和sin项分别进行积分：
f(t) = ∫[−∞,∞] (∑[−∞,∞] f(t') * cos(ω(t-t'))) dω dt' + j * ∫[−∞,∞] (∑[−∞,∞] f(t') * sin(ω(t-t'))) dω dt'

最后，我们定义傅里叶变换的实部和虚部分别为：
Re[F(ω)] = ∫[−∞,∞] f(t) * cos(ωt) dt
Im[F(ω)] = ∫[−∞,∞] f(t) * sin(ωt) dt

将上述结果代入，我们得到傅里叶变换的公式推导：
F(ω) = Re[F(ω)] + j * Im[F(ω)]

这就是傅里叶变换的公式推导过程。