离散傅里叶变换 公式

### 离散傅里叶变换的数学公式

离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform, DFT）用于分析有限长度序列的频域特性。给定一个长度为 \( N \) 的离散时间信号 \( x[n] \)，其离散傅里叶变换定义为：

\[ X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j\frac{2\pi}{N}kn}, \quad k = 0, 1, ..., N-1 \tag{1} \]

其中，\( j \) 是虚数单位，\( e^{-j\frac{2\pi}{N}kn} \) 表示旋转因子。

逆离散傅里叶变换（Inverse Discrete Fourier Transform, IDFT），则可以由频率域恢复到时域表示形式：

\[ x[n] = \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}X[k]e^{j\frac{2\pi}{N}kn}, \quad n = 0, 1,..., N-1 \tag{2} \]

上述两个表达式共同构成了完整的离散傅里叶变换对[^1]。

#### 推导过程中的关键概念

为了理解为什么采用这样的公式来实现离散傅里叶变换，可以从连续情况下周期函数的傅里叶级数出发考虑问题。当我们将连续的时间轴转换成离散样本点之后，原本无限多条基波及其谐波组成的积分求和就变成了针对这些离散采样时刻上的加权累加操作[^3]。

具体来说，如果有一个周期性的连续时间信号 \( f(t) \)，它可以通过下面这个无穷项三角函数之和来进行描述:

\[ f(t)=\sum_k a_ke^{i\omega kt}=a_0+\sum_{k>0}(c_kcos(\omega t)+d_ksin(\omega t)) \]

这里 \( i=\sqrt{-1} \), 而角速度 \( ω=2π/T \). 当把该连续信号变为每隔 T/N 秒取样的 N 个数值 {f(nT/N)} 后，则可得到对应的离散版本——即离散傅里叶变换的结果向量 F(k).

这种从连续到离散的变化不仅限于理论层面；实际上，在计算机处理音频文件或其他类型的数字化数据流时都会遇到这种情况。因此了解如何正确应用离散傅里叶变换对于许多实际应用场景至关重要。