二维离散傅里叶变换的公式是什么

二维离散傅里叶变换（2D DFT）的公式如下：

$$F(u,v) = \sum_{x=0}^{N-1} \sum_{y=0}^{N-1} f(x,y) e^{-i2\pi(\frac{ux}{N}+\frac{vy}{N})}$$

其中，$f(x,y)$ 是二维信号在坐标 $(x,y)$ 处的采样值，$F(u,v)$ 是其在频域中坐标 $(u,v)$ 处的幅度和相位信息。$N$ 是信号在每个维度上的采样点数，$i$ 为虚数单位。

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二维离散傅里叶变换公式的乘法

### 二维离散傅里叶变换中的乘法运算

对于二维离散傅里叶变换（2D DFT），其数学表达式可以表示如下：

\[
F(u, v) = \sum_{x=0}^{M-1}\sum_{y=0}^{N-1} f(x,y)e^{-j2\pi(ux/M + vy/N)}
\]

其中 \(f(x, y)\) 表示输入的空间域函数，\(F(u, v)\) 则是在频率域的结果。这里的关键在于指数项 \(e^{-j2\pi(ux/M + vy/N)}\) 的计算涉及到大量的复数乘法操作。

具体来说，在上述公式中，每一项都涉及到了两个变量 \(u\) 和 \(v\) 对应位置上的原始像素值与相应的基波成分之间的相乘[^2]。这意味着每次迭代过程中都需要执行一次这样的乘法操作，即把当前坐标处的灰度级或颜色强度同对应的正弦/余弦分量相结合。

为了更直观地展示这一点，考虑下面这个简单的Python代码片段用于手动模拟部分2D-DFT过程中的单步乘法动作:

import numpy as np

def dft_2d_multiplication(f_x_y, u, v, M, N):
    result = 0
    for x in range(M):
        for y in range(N):
            angle = (-2 * np.pi * (u*x / M + v*y / N))
            complex_exp = np.exp(complex(0,angle))  # 计算 e^-jθ
            product = f_x_y[x][y] * complex_exp     # 执行乘法
            result += product                       # 累加求和
            
    return result

此函数接收一个代表图像矩阵 `f_x_y` 及指定频率索引 `(u,v)` ，并返回该点经过2D-DFT转换后的贡献值。注意这里的 `np.exp()` 函数用来生成所需的复数值，而后续的操作就是简单直接的乘法规则应用于每一个样本点上[^1]。

二维离散傅里叶变换公式

给定一个 $N \times N$ 的二维离散函数 $f(x,y)$，其离散傅里叶变换为 $F(u,v)$，则其变换公式为：

$$F(u,v)=\sum_{x=0}^{N-1}\sum_{y=0}^{N-1}f(x,y)e^{-2\pi i (\frac{ux}{N}+\frac{vy}{N})}$$

逆变换公式为：

$$f(x,y)=\frac{1}{N^2}\sum_{u=0}^{N-1}\sum_{v=0}^{N-1}F(u,v)e^{2\pi i (\frac{ux}{N}+\frac{vy}{N})}$$

其中 $i$ 为虚数单位，$u,v$ 为频率变量，取值范围为 $0$ 到 $N-1$。