−∆u = (π 2 − 1)e x sin(πy),

这是一个偏微分方程，可以使用分离变量法求解。先假设解为 u(x,y) = X(x)Y(y)，代入方程中得到：

-X''(x)Y(y) - X(x)Y''(y) = (π^2 - 1)e^xsin(πy)

将左边等式两边同时除以 X(x)Y(y) 得到：

-(1/X(x))X''(x) = (1/Y(y))Y''(y) + (π^2 - 1)e^xsin(πy)/X(x)Y(y)

由于左边只与 x 有关，右边只与 y 有关，所以两边必须等于一个常数 λ，即：

-(1/X(x))X''(x) = λ (1)

(1/Y(y))Y''(y) + (π^2 - 1)e^xsin(πy)/X(x)Y(y) = λ (2)

对于式 (1)，解得 X(x) = c1e^(-sqrt(λ)x) + c2e^(sqrt(λ)x)，其中 c1，c2 为常数。

对于式 (2)，根据题目中的右边函数，我们猜测 λ = π^2，代入式中得到：

Y''(y) + πe^xsin(πy)/Y(y) = 0

这是一个常系数齐次线性微分方程，可以使用特征方程法求解。设解为 Y(y) = A sin(πy) + B cos(πy)，代入方程中得到：

-πe^xsin(πy)A sin(πy) + πe^xsin(πy)B cos(πy) = 0

化简得到 B = 0，A 可以任意取值。

综上所述，原方程的通解为：

u(x,y) = (c1e^(-sqrt(π^2)x) + c2e^(sqrt(π^2)x))(A sin(πy)) = (c1e^(-πx) + c2e^(πx))Asin(πy)，其中 c1，c2，A 为常数。