<div v-for="(item, index) in $store.state.category" :key="index"> <div class="bg">{{ item.category | showFirst }}</div> <div class="name">{{ item.category }}</div> </div>，对div添加背景颜色。

要为上述代码中的每个 `div` 元素添加背景颜色，你可以在 `item` 对象中添加一个 `color` 属性，并将其与背景颜色关联起来。以下是一个示例：

<template>
  <div>
    <div v-for="(item, index) in $store.state.category" :key="index" :style="{ backgroundColor: item.color }">
      <div class="bg">{{ item.category | showFirst }}</div>
      <div class="name">{{ item.category }}</div>
    </div>
  </div>
</template>

<script>
export default {
  computed: {
    $store() {
      return this.$store;
    }
  },
  filters: {
    showFirst: function(value) {
      return value.charAt(0);
    }
  },
  mounted() {
    this.$store.state.category.forEach((item) => {
      item.color = getRandomColor();
    });
  }
};

function getRandomColor() {
  const letters = '0123456789ABCDEF';
  let color = '#';
  for (let i = 0; i < 6; i++) {
    color += letters[Math.floor(Math.random() * 16)];
  }
  return color;
}
</script>

在上面的示例中，我们使用 `v-for` 指令遍历 `$store.state.category` 数组，并为每个循环项 `item` 添加了一个 `color` 属性，该属性在 `mounted` 钩子函数中被赋予随机的背景颜色。

然后，我们使用 `:style` 指令将 `backgroundColor` 属性与 `item.color` 关联起来，从而为 `div` 元素添加背景颜色。

请注意，上述示例中的 `getRandomColor` 函数用于生成随机的背景颜色。你可以根据需要自定义生成颜色的逻辑。

最后，我们还添加了一个名为 `showFirst` 的过滤器，用于仅显示每个类别的第一个字符。你可以根据需要自定义过滤器的逻辑。