请详细介绍稳健估计法的算法，并举例说明

稳健估计法（Robust Estimation）是一种通过抵抗异常值（outliers）的影响，得到更可靠估计结果的统计方法。常见的稳健估计法有M估计、S估计和MM估计等。

以M估计为例，其算法如下：

1. 初始化参数：选择一个初始值 $\theta_0$。

2. 对于每个数据点 $x_i$，计算其残差 $r_i = x_i - \theta_0$。

3. 对残差进行加权，通常使用 Tukey's biweight 权重函数：

$$
w(r_i) =
\begin{cases}
(1 - (r_i/c)^2)^2, & |r_i| \le c \\
0, & |r_i| > c
\end{cases}
$$

其中 $c$ 是一个常数，通常取值为 4.685。

4. 根据加权残差重新估计参数 $\theta_1$：

$$
\theta_1 = \frac{\sum_{i=1}^n w(r_i) x_i}{\sum_{i=1}^n w(r_i)}
$$

5. 重复步骤2到4，直到收敛。

M估计的优点在于可以抵抗异常值的影响，但其缺点在于对于非正态分布的数据，可能会导致估计结果偏差较大。

举个例子，假设我们有如下数据集：

$$
[1, 2, 3, 4, 5, 6, 100]
$$

其中 100 是一个异常值。我们可以使用 M估计来得到该数据集的均值：

1. 初始化参数：选择一个初始值 $\theta_0 = 3$。

2. 对于每个数据点 $x_i$，计算其残差 $r_i = x_i - \theta_0$。

$$
[-2, -1, 0, 1, 2, 3, 97]
$$

3. 对残差进行加权，使用 Tukey's biweight 权重函数：

$$
[0.000, 0.000, 0.024, 0.274, 0.524, 0.724, 0.000]
$$

4. 根据加权残差重新估计参数 $\theta_1$：

$$
\theta_1 = \frac{(0.024 \times 3) + (0.274 \times 4) + (0.524 \times 5) + (0.724 \times 6)}{(0.024 + 0.274 + 0.524 + 0.724)} = 4.76
$$

5. 重复步骤2到4，直到收敛。

最终得到的均值为 4.76，可以看到，由于使用了稳健估计法，异常值 100 对结果的影响被有效抑制了。