设p=11，E是由y2≡x3+x+6(mod 11)所确定的有限域Z11上的椭圆曲线。设α=(2,7),d=7，请计算： （1）β的值。 （2）取k=2，假设明文x=(9,1)，试计算其对应的密文。

（1）根据题意，椭圆曲线上的点满足y^2 ≡ x^3 + x + 6 (mod 11)。将α代入得：7^2 ≡ 2^3 + 2 + 6 (mod 11)，即49 ≡ 10 (mod 11)，因此α是椭圆曲线上的一个点。

由于d=7，我们需要计算β=dα。首先计算2α=（2，7）+（2，7）=（5，2）。然后计算4α=2(2α)=2（5，2）=（10，2）。最后计算β=dα=7α=4α+2α+α=（10，2）+（5，2）+（2，7）=（6，6），因此β的值为（6，6）。

（2）首先选择明文x=(9,1)，随机选择一个整数k=2作为加密密钥。然后计算kα=2α=（5，2）。接着计算明文点x在椭圆曲线上的对应点P=(9,1)在kα上的投影，即将斜率k=2代入点P和kα的求斜率公式中，得到：

k = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (2 - 1) / (5 - 9) = 3 (mod 11)

因此，P在kα上的投影为Q=(8, 3)。密文为（kα，P+kb）=(5,2)，（8,3+7）=（8,10）），即密文为（（5,2），（8,10））。

相关问题

Z11上的椭圆曲线E:y^2=x^3+x+6 (a)请确定该椭圆曲线上所有的点。 (b)生成元G=(2,7),私钥nB=2,公钥PB=nB*G=(5,2),明文消息编码成一个数8,选择一点Pt=(3,5),加密时选取随机数k=3,求加解密过程。

好的，我知道了。针对您的问题，我的回答如下：

(a) 为确定椭圆曲线上所有的点，我们需要在有限域上进行运算。假设Z11是我们的有限域，则该椭圆曲线上所有的点可以用以下公式表示：

E = {(x,y) | x,y ∈ Z11, y^2 ≡ x^3 + 6(mod 11)}

通过枚举x和y，可以得到该椭圆曲线上的所有点：

E = {(0,5), (0,6), (2,7), (2,4), (3,2), (3,9), (4,4), (4,7), (8,3), (8,8), (9,2), (9,9)}

(b) 加密过程：

(1) 选择明文消息编码成的数m=8，选择加密时的随机数k=3。

(2) 选择生成元G=(2,7)作为公钥，计算公钥PB=nB*G=(5,2)，其中私钥nB=2。

(3) 选择一点Pt=(3,5)作为加密时的随机点。

(4) 计算C1=k*G=(1,6)，C2=m*Pt=(8,2)。

(5) 加密结果为(C1,C2)=(1,6),(8,2)。

解密过程：

(1) 选择私钥nB=2。

(2) 计算D=nB*C1=(2,0)。

(3) 计算Pt=C2-D=(6,2)。

(4) 将Pt的x坐标作为解密后的明文消息，即m=6。

因此，加密后的密文为(C1,C2)=(1,6),(8,2)，解密后的明文消息为m=6。

(8)Y Z11上的椭圆曲线E:y^2=x^3+x+6 (a)请确定该椭圆曲线上所有的点。 (b)生成元G=(2,7),私钥nB=2,公钥PB=nB*G=(5,2),明文消息编码成一个数8,选择一点Pt=(3,5),加密时选取随机数k=3,求加解密过程。

(a) 该椭圆曲线的所有点可以通过以下步骤确定：
- 对于任意x值，计算y^2 = x^3 + 6，如果y^2可以被整数完全平方，则(x, y)为该椭圆曲线上的一个点。
- 如果y^2不能被整数完全平方，则(x, y)不是该椭圆曲线上的点。

(b) 加密过程如下：
- 明文消息编码成一个数8，选择一点Pt=(3,5)作为消息的加密形式。
- 选择随机数k=3，并计算k*G=(2,7)+...+(2,7)（共计算3次），得到加密后的密文点C=(3,1)。
- 发送密文C和公钥PB=(5,2)给接收方。

解密过程如下：
- 接收方使用私钥nB=2，在椭圆曲线上计算nB*C，即2*(3,1)=(3,5)，得到密文点对应的明文消息Pt=(3,5)。