改进的鹦鹉优化算法优化VMD

### 使用改进的鹦鹉优化算法对变分模态分解(VMD)进行优化

#### 改进的鹦鹉优化算法简介
改进的鹦鹉优化算法(IPO)[^2]引入了多种策略以提升性能，包括猫映射反向策略、自适应权重以及混合柯西和高斯变异。这些增强措施使得该算法能够更有效地探索解空间并找到全局最优解。

#### VMD概述及其参数设置
变分模态分解是一种信号处理技术，用于将复杂信号分解成若干个固有模态函数(IMF)，其核心在于求解一组带约束条件下的非线性方程组。VMD的关键参数包括K(模式数量), α, τ 和 DC 分量等，在实际应用中往往需要通过试错法调整至最佳状态。

#### IPO-VMD框架构建
为了利用IPO的优势来改善VMD的效果，可以通过以下方式建立两者之间的联系：

1. **定义目标函数**：对于给定的一维时间序列数据`X(t)`，采用均方误差(MSE)作为衡量标准之一；

\[
MSE=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\hat{x}_i)^2
\]

其中\( N \)表示样本总数；\( x_i,\hat{x}_i \)分别代表原始信号与重构后的对应位置上的数值。

2. **编码机制设计**：每个个体由两部分组成——前半段存储着不同IMFs对应的中心频率ω_k，而后半段则记录各自的带宽β_k。因此整个染色体长度等于2*K(K为预设的最大模态数)。

3. **初始化种群规模**：根据具体应用场景设定合适的初始群体大小P_size，并随机生成满足上述结构特点的多个候选方案构成初代父本集合。

4. **迭代更新过程**
- 应用cat映射反向学习操作改变某些成员的位置分布情况。
- 计算当前世代所有实体的目标值f(x)=MSE。
- 利用自适应调节因子w动态平衡开发能力和探测范围间的比例关系。
- 结合Cauchy-Gaussian突变规则创造新的后代实例加入到下一代竞争行列之中去。

5. **终止准则判断**：当达到预定最大循环次数G_max或者连续几轮内平均适应度变化幅度小于阈值ε时停止运算流程。

6. **输出最终结果**：挑选出具有最小化损失得分的那个配置组合所关联起来的最佳VMD解析表达式。

function [u_hat, omega_optimal, alpha_optimal]=ipo_vmd(signal,K,alpha_init,beta_init,G_max,P_size)
% signal 输入待分析的时间序列数组;
% K 预估最多可能出现几个独立成分;
% alpha_init 初始化惩罚系数α;
% beta_init 起始噪声水平τ;
% G_max 进化的总步数限制;
% P_size 种群基数;

%% 参数准备阶段 %%
global best_fitness; % 存储历史最低误差点位
best_fitness = inf;
population = initialize_population(P_size, K); % 构建初期候选项集

for g = 1 : G_max
    
    fitness_values = zeros(P_size, 1);
    
    parfor i = 1:P_size
        
        individual = population(i,:);
        
        %% 解码得到各维度属性的具体取值 %%
        omegas = individual(1:K)';
        alphas = exp(individual((K+1):end)');
        
        [~, ~, u_reconstructed] = vmd_decomposition(signal, omegas, alphas, ...
            alpha_init, beta_init);

        mse_value = mean((signal-u_reconstructed).^2);
        fitness_values(i) = mse_value;
        
        if mse_value < best_fitness
            
            best_fitness = mse_value;
            
            omega_optimal = omegas;
            alpha_optimal = alphas;
            
        end
        
    end
    
    %% 执行遗传操作环节 %%
    new_generation = apply_genetic_operations(population,...
        fitness_values,g,G_max);
    
    population = new_generation;
    
end

[u_hat,~,~] = vmd_decomposition(signal,omega_optimal,alpha_optimal,...

alpha_init,beta_init);

end


function pop = initialize_population(N,k)

pop = randn(N,2*k)*sqrt(k)+repmat([ones(1,k),zeros(1,k)],N,1);

end



function next_pop = apply_genetic_operations(current_pop,fitnesses,current_iter,max_iters)

next_pop=current_pop;

[N,D]=size(next_pop);

r=randperm(N,floor(N/2));

selected=r(fitnesses(r)<median(fitnesses)); %#ok<PERMS>

if isempty(selected)||length(selected)==1
        
    selected=[find(fitnesses==min(fitnesses)),...
              find(fitnesses<=prctile(fitnesses,75))];

end

new_members=zeros(length(selected),D);

for idx=1:length(selected)
    
    parent_1=current_pop(selected(idx),:);
    
    partner_idx=setdiff(randperm(N,2),selected(idx));
    
    parent_2=current_pop(partner_idx(end),:);
    
    child=crossover(parent_1,parent_2);
    
    mutated_child=mutate(child,...
                          current_iter/max_iters,...
                          D);
                          
    new_members(idx,:)=mutated_child;
    
end

next_pop(setxor(1:N,selected),:)=[];
next_pop=[next_pop;new_members];
shuffle_indices=randperm(size(next_pop,1));
next_pop=next_pop(shuffle_indices,:);

end


function offspring = crossover(p1,p2)

offspring=(p1+p2)/2+(rand()-0.5).*abs(p2-p1);

end


function mutant = mutate(gene,t_ratio,dimensions)

scale_factor=t_ratio*(exp(-t_ratio)-1)/(dimensions*log(dimensions+eps));

mutation_type=rand()>0.5;

if mutation_type
    
    cauchy_noise=scale_factor.*cauchy_rnd(size(gene));
    
else 
    
    gaussian_noise=scale_factor.*randn(size(gene));
    
end 

mutant=gene+ (mutation_type*cauchy_noise + (~mutation_type)*gaussian_noise );

end


function y = cauchy_rnd(sz)

lambda = ones(sz);

y=lambda./(rand(sz).^(1./sz));

end