11.严格确定每个函数是否在给定的间隔上有唯一的不动点(如下 g(X)=1-x2/4 on[0,1] g(X)=2-x on[0,1] G(X)=1/x on(0.5,5.2) 求解题过程
时间: 2024-06-01 17:10:13 浏览: 7
1. g(X)=1-x2/4 on[0,1]
该函数在区间[0,1]上有唯一的不动点。为了证明这一点,我们可以考虑对g(X)求导,得到g'(X)=-X/2。由于g'(X)在[0,1]上恒为负数,因此g(X)在该区间上是严格单调递减的。又因为g(0)=1,g(1)=0.75,因此根据介值定理,g(X)在[0,1]上必然存在一个不动点。
2. g(X)=2-x on[0,1]
该函数在区间[0,1]上有唯一的不动点。为了证明这一点,我们可以考虑对g(X)求导,得到g'(X)=-1。由于g'(X)在[0,1]上恒为负数,因此g(X)在该区间上是严格单调递减的。又因为g(0)=2,g(1)=1,因此根据介值定理,g(X)在[0,1]上必然存在一个不动点。
3. G(X)=1/x on(0.5,5.2)
该函数在区间(0.5,5.2)上有唯一的不动点。为了证明这一点,我们可以考虑解方程G(X)=X,即1/X=X,得到X=1。由于G(X)在(0.5,5.2)上是单调递减的,并且G(0.5)>0.5,G(5.2)<0.2,因此1/X在(0.5,5.2)上只有一个解,即X=1,也就是G(X)在该区间上有唯一的不动点。
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