matlab的SVD分解求解最小二乘问题
时间: 2023-06-17 07:04:48 浏览: 95
在Matlab中,可以使用SVD分解求解最小二乘问题,具体步骤如下:
1. 假设有一个线性方程组 $Ax = b$,其中 $A$ 是 $m\times n$ 的矩阵,$x$ 是 $n\times 1$ 的向量,$b$ 是 $m\times 1$ 的向量。
2. 对 $A$ 进行奇异值分解:$A = U\Sigma V^T$,其中 $U$ 是 $m\times m$ 的酉矩阵,$\Sigma$ 是 $m\times n$ 的对角矩阵,$V$ 是 $n\times n$ 的酉矩阵。
3. 将 $x$ 表示为 $x=V\Sigma^{-1}U^Tb$,其中 $\Sigma^{-1}$ 是将 $\Sigma$ 的对角线上的元素取倒数后得到的对角矩阵。
4. 将 $x$ 代入原方程组,得到 $Ax=U\Sigma V^TV\Sigma^{-1}U^Tb$。
5. 由于 $V$ 是酉矩阵,所以 $V^TV=I$,因此 $Ax=U\Sigma\Sigma^{-1}U^Tb=Ub$。
6. 最小二乘解为 $x=V\Sigma^{-1}U^Tb$。
Matlab代码示例如下:
```matlab
% 假设有一个线性方程组 Ax = b,其中 A 是 m*n 的矩阵,x 是 n*1 的向量,b 是 m*1 的向量
A = randn(4,3);
b = randn(4,1);
% 对 A 进行奇异值分解
[U,S,V] = svd(A);
% 将 x 表示为 x = V*S^-1*U'*b
x = V*(S\U')*b;
% 检验最小二乘解是否正确
norm(A*x-b)
```