假定n为3的幂，考虑下面递推式，f（n）=9f（n/3）+n²，n≥2，f（1）=1，用展开法求解递推式

展开法是一种递归展开的方法，将递推式一步一步展开，直到得到初始条件的表达式。在这个问题中，我们可以按照以下步骤展开递推式：

f(n) = 9f(n/3) + n²

= 9[9f(n/9) + (n/3)²] + n²

= 9²f(n/9) + 9(n/3)² + n²

= 9²f(n/9) + 3n²

= 9³f(n/27) + 3n² + 9(n/3)²

= 9³f(n/27) + 12n²

= 9^k f(n/3^k) + kn²

我们可以发现，展开后的递推式是一个等比数列的和，其中首项为 f(n)，公比为 9，项数为 k = log3n。因此，我们可以使用等比数列求和公式来得到 f(n) 的表达式：

f(n) = 1/(1-9) [9^k f(n/3^k) + kn²]

= 1/8 [9^log3n f(1) + log3n n²]

= 1/8 [n^2 + 3n(log3n-1)/2 + 9(log3n-1)^2/2]

因为 n 是 3 的幂，所以 log3n = k，可以化简为：

f(n) = 1/8 [n^2 + 3nk/2 + 9k^2/2]

= 1/8 [n^2 + 3nlog3n/2 + 9(log3n)^2/2]

因此，f(n) 的表达式为：f(n) = 1/8 [n^2 + 3nlog3n/2 + 9(log3n)^2/2]。