假定n为3的幂,考虑下面递推式,f(n)=9f(n/3)+n²,n≥2,f(1)=1,用展开法求解递推式
时间: 2024-05-25 16:14:31 浏览: 9
展开法是一种递归展开的方法,将递推式一步一步展开,直到得到初始条件的表达式。在这个问题中,我们可以按照以下步骤展开递推式:
f(n) = 9f(n/3) + n²
= 9[9f(n/9) + (n/3)²] + n²
= 9²f(n/9) + 9(n/3)² + n²
= 9²f(n/9) + 3n²
= 9³f(n/27) + 3n² + 9(n/3)²
= 9³f(n/27) + 12n²
= 9^k f(n/3^k) + kn²
我们可以发现,展开后的递推式是一个等比数列的和,其中首项为 f(n),公比为 9,项数为 k = log3n。因此,我们可以使用等比数列求和公式来得到 f(n) 的表达式:
f(n) = 1/(1-9) [9^k f(n/3^k) + kn²]
= 1/8 [9^log3n f(1) + log3n n²]
= 1/8 [n^2 + 3n(log3n-1)/2 + 9(log3n-1)^2/2]
因为 n 是 3 的幂,所以 log3n = k,可以化简为:
f(n) = 1/8 [n^2 + 3nk/2 + 9k^2/2]
= 1/8 [n^2 + 3nlog3n/2 + 9(log3n)^2/2]
因此,f(n) 的表达式为:f(n) = 1/8 [n^2 + 3nlog3n/2 + 9(log3n)^2/2]。
相关问题
递推式f(1)=0,f(n)=f(n/2)+1
根据递推式,当n=1时,f(1)=0。
当n大于1时,f(n)=f(n/2)。其中,n/2表示对n进行整数除法,即取整数部分。
以n=2为例:
f(2) = f(2/2) = f(1) = 0
以n=4为例:
f(4) = f(4/2) = f(2) = 0
以n=8为例:
f(8) = f(8/2) = f(4) = 0
可以发现,无论n为2的多少次方,都有f(n)=0。
因此,递推式的通解为f(n)=0,其中n为2的任意非负整数次方。
递推式f(1)=0,f(n)=f(n/2)+1的解是___。
根据递推式,当n等于1时,f(1)=0。当n大于1时,f(n)=f(n/2)。根据这个递推式,可以列出以下表格:
| n | f(n) |
| - | ---- |
| 1 | 0 |
| 2 | 0 |
| 3 | 0 |
| 4 | 0 |
| 5 | 0 |
| 6 | 0 |
| 7 | 0 |
| 8 | 0 |
可以发现,无论n是多少,f(n)都等于0。因此,1的解为0。
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