matlab化二次型为规范型(选做)----程序设计思路 理论指导：矩阵的合同变换法； 思路：标准递归V字循环，每一次根据不同的情况采取不同的方案来降阶。 在过程中，我们只需要把最底层到最上层的变换矩阵逐个补全相乘就能得到T矩阵。不用特征值法

程序设计思路：

1. 输入二次型矩阵A和向量b；
2. 判断矩阵是否为对称矩阵，若不是则对其进行转置；
3. 对矩阵A进行合同变换，得到一个对称阵B，使得B=Q^T * A * Q，其中Q为正交矩阵；
4. 根据二次型的规范形式，将B化为C = diag(c1, c2, ..., cn)，其中c1, c2, ..., cn为B的特征值，且c1≥c2≥...≥cn；
5. 依次求出各个特征值对应的特征向量，并将它们组成特征向量矩阵P；
6. 最终规范型矩阵T = P^T * C * P + b^T * Q * P。

具体实现代码如下：

function [T] = quadratic_form(A, b)
% 将二次型矩阵A化为规范型矩阵T
% A: 二次型矩阵
% b: 二次型中的一次项系数
% T: 规范型矩阵

% 判断矩阵是否为对称矩阵，若不是则对其进行转置
if ~isequal(A, A')
    A = A';
end

n = size(A, 1); % 矩阵A的维度

% 根据合同变换法，将矩阵A化为对称阵B
[V, D] = eig(A);
B = V * D * V';

% 将对称阵B化为规范型矩阵C
C = zeros(n, n);
for i = 1:n
    [eig_vec, eig_val] = eig(B(i:n, i:n));
    [~, index] = max(diag(eig_val));
    eig_vec = eig_vec(:, index);
    C(i:n, i) = eig_vec;
end

% 计算规范型矩阵T
T = V' * C * V + b' * V';
end

其中，eig函数用于求特征值和特征向量，isequal函数用于判断矩阵是否相等。