盲源分离 JADE算法推导过程

JADE算法的推导过程如下：

假设有m个传感器，每个传感器接收到的信号为$x_i$，其中$i=1,2,...,m$。假设有n个信号源，每个信号源的信号为$s_j$，其中$j=1,2,...,n$。则有以下关系式：

$$ x_i = \sum_{j=1}^{n} a_{ij}s_j $$

其中$a_{ij}$是混合矩阵，表示第$i$个传感器接收到的第$j$个信号源的信号的比例。我们的目标是从$x_i$中分离出独立的$s_j$。

JADE算法的基本思路是利用高阶统计信息对混合矩阵进行估计。具体而言，我们可以通过以下步骤来实现：

步骤1：对$x_i$进行零均值化。

$$ \tilde{x_i} = x_i - \frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}x_i(t) $$

其中$T$表示信号的长度。

步骤2：计算$x_i$的协方差矩阵$C_{x_i}$。

$$ C_{x_i} = E[\tilde{x_i}\tilde{x_i}^T] $$

步骤3：计算$x_i$的高阶矩阵$M_{x_i}$。

$$ M_{x_i}^{(k)} = E[\tilde{x_i}^k\tilde{x_i}^{k^T}] $$

其中$k$表示高阶矩的阶数，通常取2或3。

步骤4：对$M_{x_i}^{(k)}$进行特征值分解。

$$ M_{x_i}^{(k)} = U\Lambda U^T $$

其中$\Lambda$是特征值矩阵，$U$是特征向量矩阵。

步骤5：计算旋转矩阵$W$。

$$ W = U^T \cdot diag(\frac{1}{\sqrt{\Lambda}}) \cdot U $$

其中$diag(\frac{1}{\sqrt{\Lambda}})$是一个对角矩阵，对角线上的元素为$\frac{1}{\sqrt{\lambda_i}}$，其中$\lambda_i$是特征值矩阵$\Lambda$的第$i$个特征值。

步骤6：计算估计的混合矩阵$\hat{A}$。

$$ \hat{A} = W \cdot A $$

其中$A$是真实的混合矩阵。

步骤7：对$\hat{A}$进行奇异值分解。

$$ \hat{A} = U_s \cdot \Sigma_s \cdot V_s^T $$

其中$\Sigma_s$是奇异值矩阵，$U_s$和$V_s$是左右奇异向量矩阵。

步骤8：计算分离矩阵$W_s$。

$$ W_s = V_s^T $$

步骤9：计算分离后的信号源。

$$ \hat{s_i} = W_s \cdot \tilde{x_i} $$

通过以上步骤，我们可以得到独立的信号源$\hat{s_i}$，从而实现盲源分离。