请用Matlab编写程序解决如下问题 用向后 Euler 格式计算如下定解问题 \left\{\begin{array}{l} \frac{\partial u}{\partial t}-2 \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}=-\mathrm{e}^{x}\left[\cos \left(\frac{1}{2}-t\right)+2 \sin \left(\frac{1}{2}-t\right)\right], \quad 0<x<1, \quad 0<t \leqslant 1 \\ u(x, 0)=\mathrm{e}^{x} \sin \frac{1}{2}, \quad 0 \leqslant x \leqslant 1 \\ u(0, t)=\sin \left(\frac{1}{2}-t\right), \quad u(1, t)=\mathrm{e} \sin \left(\frac{1}{2}-t\right), \quad 0<t \leqslant 1 \end{array}\right. 该问题的精确解为 u(x, t)=\mathrm{e}^{x} \sin \left(\frac{1}{2}-t\right) . 要求计算出精确解，数值解，以及精确解和数值解间的误差，直接给代码

以下是使用Matlab编写的程序，其中使用了向后Euler格式进行数值计算，同时计算了精确解和数值解之间的误差。

% 定义问题参数
L = 1;
T = 1;
h = 0.01;
k = 0.01;
r = k/h^2;

% 定义空间网格和时间网格
x = 0:h:L;
t = 0:k:T;

% 初始化数值解和精确解
u = zeros(length(x),length(t));
u(:,1) = exp(x)*sin(1/2);
exact = zeros(length(x),length(t));
exact(:,1) = exp(x)*sin(1/2);

% 按照向后Euler格式进行数值计算
for n = 1:length(t)-1
    for i = 2:length(x)-1
        u(i,n+1) = (1-2*r)*u(i,n)+r*(u(i+1,n)+u(i-1,n))...
            -k*exp(x(i))*(cos(1/2-t(n+1))+2*sin(1/2-t(n+1)));
    end
    % 处理边界条件
    u(1,n+1) = sin(1/2-t(n+1));
    u(length(x),n+1) = exp(1)*sin(1/2-t(n+1));
    % 计算精确解
    exact(:,n+1) = exp(x)*sin(1/2-t(n+1));
end

% 计算精确解和数值解之间的误差
error = abs(exact-u);

% 绘制数值解和精确解
[X,T] = meshgrid(x,t);
surf(X,T,u');
title('数值解');
xlabel('x');
ylabel('t');
zlabel('u');

figure;
surf(X,T,exact');
title('精确解');
xlabel('x');
ylabel('t');
zlabel('u');

figure;
surf(X,T,error');
title('误差');
xlabel('x');
ylabel('t');
zlabel('error');

需要注意的是，该程序中使用了二维图形绘制函数`surf`，需要确保Matlab版本支持该函数。