用预估校正Euler法，求解定解问题 求出步长 的所有点的值，并绘制图形。matlab

预估校正Euler法（也称为Heun's方法）是一种数值求解微分方程的方法，可以用来求解定解问题。假设我们要求解的微分方程为 $y' = f(t,y)$，初始条件为 $y(t_0) = y_0$，步长为 $h$。则预估校正Euler法的迭代公式如下：

$$
\begin{aligned}
k_1 &= f(t_n, y_n) \\
k_2 &= f(t_n + h, y_n + hk_1) \\
y_{n+1} &= y_n + \frac{h}{2}(k_1 + k_2)
\end{aligned}
$$

其中 $k_1$ 和 $k_2$ 是斜率，$y_n$ 和 $y_{n+1}$ 分别是第 $n$ 步和第 $n+1$ 步的解。这个方法的基本思想是，先用 $k_1$ 预估下一步的解，然后用 $k_2$ 校正预估值，得到更精确的解。

下面是一个使用预估校正Euler法求解微分方程的例子，以及绘制图形的MATLAB代码：

% 定义微分方程
f = @(t, y) -y + t^2 + 1;

% 定义初始条件和步长
y0 = 0;
t0 = 0;
h = 0.1;
tf = 1;

% 计算步数并初始化解向量
n = ceil((tf - t0) / h);
y = zeros(n+1, 1);
t = linspace(t0, tf, n+1);
y(1) = y0;

% 迭代求解
for i = 1:n
    k1 = f(t(i), y(i));
    k2 = f(t(i+1), y(i) + h*k1);
    y(i+1) = y(i) + 0.5*h*(k1 + k2);
end

% 绘图
plot(t, y);
xlabel('t');
ylabel('y');
title('Solution of y'' = -y + t^2 + 1 using Heun''s method');

运行代码，就可以得到微分方程的解，并绘制出解的图形。