设I=∫∫根号（R^2-x^2-y^2）dxdy，D是由x^2+y^2=R^2所围的闭区域，则I=？A.1/9R^3（3π-4） B.0 C.-1/9R^3（3π-4）D.2/3πR^3

我们可以使用极坐标变量来计算该积分。设$r=\sqrt{x^2+y^2}$，则有$dxdy=rdrd\theta$。当$x^2+y^2=R^2$时，$r=R$，因此积分区域变为$0\leq r\leq R$，$0\leq \theta \leq 2\pi$。

于是，原式可以写成：

$$
\begin{aligned}
I &= \iint_D \sqrt{R^2-x^2-y^2}\ dxdy \\
&= \int_0^{2\pi} \int_0^R \sqrt{R^2-r^2} \cdot r\ dr\ d\theta \\
&= 2\pi \int_0^R \sqrt{R^2-r^2} \cdot r\ dr \\
&= 2\pi \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \int_0^{R^2} \sqrt{R^2-u}\ du \quad (令u=R^2-r^2)\\
&= \pi \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} (R^2)^{\frac{3}{2}} \\
&= \frac{1}{3}\pi R^3
\end{aligned}
$$

因此，答案为D. $I=2/3\pi R^3$。

相关问题

计算∫dx/根号x^2-a^2

我们可以进行一些代数变形来求解这个积分。首先，我们可以将根号x^2-a^2写成a^2-x^2的形式，然后进行分解因式：

∫dx/根号x^2-a^2 = ∫dx/√(a^2-x^2)
= 1/√a^2 ∫dx/√(1-(x/a)^2)

现在我们可以使用反三角函数来计算这个积分。令u=x/a，则du/dx=1/a，于是我们可以进行变量代换：

∫dx/根号x^2-a^2 = 1/√a^2 ∫dx/√(1-(x/a)^2)
= 1/√a^2 ∫du/√(1-u^2/a^2)
= arcsin(u)/a + C
= arcsin(x/a)/a + C

因此，∫dx/根号x^2-a^2的积分结果为arcsin(x/a)/a + C。

用换元法做∫dx/根号x^2-a^2

令x=a secθ，dx=a tanθ dθ，代入原式中得到：

∫dx/根号x^2-a^2 = ∫a tanθ dθ/根号a^2 tan^2θ

由三角恒等式，有tan^2θ + 1 = sec^2θ，即a^2 tan^2θ + a^2 = a^2 sec^2θ，所以：

∫dx/根号x^2-a^2 = ∫a tanθ dθ/根号a^2 tan^2θ = ∫a secθ dθ/a = ln|secθ + tanθ| + C

将x=a secθ代回得到：

∫dx/根号x^2-a^2 = ln|x + 根号x^2-a^2| + C