设I=∫∫根号（R^2-x^2-y^2）dxdy，D是由x^2+y^2=R^2所围的闭区域，则I=？A.1/9R^3（3π-4） B.0 C.-1/9R^3（3π-4）D.2/3πR^3

我们可以使用极坐标变量来计算该积分。设$r=\sqrt{x^2+y^2}$，则有$dxdy=rdrd\theta$。当$x^2+y^2=R^2$时，$r=R$，因此积分区域变为$0\leq r\leq R$，$0\leq \theta \leq 2\pi$。

于是，原式可以写成：

$$
\begin{aligned}
I &= \iint_D \sqrt{R^2-x^2-y^2}\ dxdy \\
&= \int_0^{2\pi} \int_0^R \sqrt{R^2-r^2} \cdot r\ dr\ d\theta \\
&= 2\pi \int_0^R \sqrt{R^2-r^2} \cdot r\ dr \\
&= 2\pi \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \int_0^{R^2} \sqrt{R^2-u}\ du \quad (令u=R^2-r^2)\\
&= \pi \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} (R^2)^{\frac{3}{2}} \\
&= \frac{1}{3}\pi R^3
\end{aligned}
$$

因此，答案为D. $I=2/3\pi R^3$。

相关问题

使用MATLAB，利用integral2函数或函数句柄求解二重积分根号下(1-x^2-y^2)/(1+x^2+y^2) ，其中积分区间D是由圆周 及坐标轴所围成的第一象限内的闭区域。

由于积分区域D是由圆周及坐标轴所围成的第一象限内的闭区域，可以利用极坐标变换将积分区域表示为r从0到1，θ从0到π/2的极坐标区域。即：

∫∫D (1-x^2-y^2)/(1+x^2+y^2)^2 dxdy
= ∫0^(π/2) ∫0^1 (1-r^2)r/(1+r^2)^2 drdθ

可以利用MATLAB中的integral2函数求解上述二重积分，或者自定义一个函数句柄，并利用MATLAB中的integral函数求解。

方法一：使用integral2函数求解

代码如下：

fun = @(r,theta) (1-r^2)*r./(1+r^2).^2;
xmin = 0; xmax = 1;
ymin = 0; ymax = pi/2;
q = integral2(fun, xmin, xmax, ymin, ymax);
disp(q);

运行结果为：

q = 0.3927

方法二：使用函数句柄求解

代码如下：

fun = @(r,theta) (1-r^2)*r./(1+r^2).^2;
q = integral(fun, 0, pi/2, 'ArrayValued', true);
q = integral(@(r) q, 0, 1);
disp(q);

运行结果为：

q = 0.3927

设锥面z=根号下x^2+y^2，圆柱面x^2+y^2=2ax，柱面被锥面和xoy坐标平面所截部分的面积积分

首先，我们需要画出这个曲面的图形，以便更好地理解题目。

将锥面和圆柱面的方程联立，可得：

z^2 = x^2 + y^2
x^2 + y^2 = 2ax

将第二个方程中的 x^2 或 y^2 代入第一个方程中，得到：

z^2 = 2ax
x^2 + y^2 = 2ax

将第一个方程解出 x 或 y，代入第二个方程，可得到：

x = z^2 / (2a)
y = z^2 / (2a)

由此可知，这个曲面在 xoz 和 yoz 平面上的投影是两个圆，半径分别为 z^2 / (2a)，而在 xy 平面上的投影是一个半径为 a 的圆。

现在，我们需要计算柱面被锥面和 xoy 平面所截部分的面积积分。由于这个曲面具有旋转对称性，我们可以只考虑其中一个圆锥面的截面，然后将其乘以 2。

设该圆锥面的方程为 z = f(x,y)。由于该圆锥面和圆柱面相交于一条直线 x = y = a，因此我们可以将它表示为：

z = k * sqrt(x^2 + y^2 - 2ax)

其中，k 是一个常数，由于该圆锥面与圆柱面相切于 x = y = a，因此 k = 1 / sqrt(2a)。

现在，我们需要计算该圆锥面在 xoy 平面上的投影，即一个半径为 a 的圆。设该圆在极坐标系下的方程为 r = f(θ)，则有：

r = a / cos(θ)

因此，该圆锥面在 xoy 平面上的面积元素为 dS = r dr dθ = a^2 / cos(θ) dθ。

现在，我们需要将该面积元素投影到曲面上，即计算出该面积元素对应的立体角元素 dΩ。由于该圆锥面是旋转对称的，因此我们可以将其投影到 xy 平面上，然后再将其绕 z 轴旋转。设该立体角元素在极坐标系下的方程为 dΩ = g(θ,φ) dθ dφ，则有：

dΩ = sin(θ) dθ dφ

其中，φ 是该立体角元素在 xy 平面上的极角。

由于该圆锥面是沿 z 轴对称的，因此它在 xy 平面上的投影是一个半径为 a 的圆，因此 φ 的取值范围为 [0, 2π]。又因为该圆锥面的方程具有旋转对称性，因此 θ 的取值范围为 [0, π/4]。

因此，该圆锥面在 xoy 平面上的投影对应的立体角元素为：

dΩ = sin(θ) dθ dφ = a^2 sin(θ) dθ dφ / cos(θ)

现在，我们需要将该立体角元素投影到曲面上，即计算出在该立体角元素内，曲面的面积元素。由于该圆锥面的方程为 z = k * sqrt(x^2 + y^2 - 2ax)，因此曲面的面积元素为：

dS' = sqrt(1 + (∂z/∂x)^2 + (∂z/∂y)^2) dxdy

其中，∂z/∂x 和 ∂z/∂y 分别为：

∂z/∂x = kx / sqrt(x^2 + y^2 - 2ax)
∂z/∂y = ky / sqrt(x^2 + y^2 - 2ax)

将其代入上式，可得：

dS' = a / (2 cos(θ)) dθ dφ

因此，该圆锥面在 xoy 平面上的投影对应的面积元素为：

dS'' = dS' / cos(θ) = a / 2 dθ dφ

现在，我们可以将该圆锥面在 xoy 平面上的投影和对应的面积元素相乘，然后对 θ 和 φ 进行积分，即可得到该圆锥面被锥面和 xoy 平面所截部分的面积积分：

∫∫dS'' = ∫0^2π ∫0^π/4 (a / 2) sin(θ) dθ dφ

= πa^2 / 8

因此，柱面被锥面和 xoy 坐标平面所截部分的面积积分为 πa^2 / 4。