给定一段曲线的半径和一个点，求这个点的曲率 Python

对于一般的曲线，我们可以通过求解该点的切线方程，然后计算切线方程的导数来得到曲率。具体地，假设曲线方程为 $y = f(x)$，则该点的切线方程为：

$$y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$$

其中，$x_0$ 和 $y_0=f(x_0)$ 是该点的横纵坐标，$f'(x_0)$ 是曲线在该点处的斜率。

我们可以通过求解曲线方程的导数来计算斜率：

$$f'(x) = \frac{dy}{dx}$$

因此，在 $x_0$ 处，曲线的斜率为 $f'(x_0)$。

有了切线的方程和斜率，我们可以使用以下公式来计算曲率：

$$\kappa = \frac{\left|\frac{d^2y}{dx^2}\right|}{\left[1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2\right]^{3/2}}$$

其中，$\frac{d^2y}{dx^2}$ 是曲线在 $x_0$ 处的二阶导数。

综上所述，以下是一个 Python 函数，它接受曲线方程的导函数、点的坐标和曲率半径作为输入，并返回该点的曲率半径：

def curvature(f_derivative, point, radius):
    x, y = point
    dy_dx = f_derivative(x)
    d2y_dx2 = f_derivative(x, 2)
    return abs(d2y_dx2) / ((1 + dy_dx ** 2) ** 1.5) if dy_dx != 0 else radius

其中，`f_derivative` 是曲线方程的导函数，接受一个参数 $x$ 和一个可选的参数 $n$，表示求解 $f(x)$ 在 $x$ 处的 $n$ 阶导数。`radius` 是曲率半径。

使用示例：

假设我们想计算曲线 $y = x^3$ 在点 $(1, 1)$ 处的曲率半径，半径为 1。

def f_derivative(x, n=1):
    if n == 1:
        return 3 * x ** 2
    elif n == 2:
        return 6 * x

curvature(f_derivative, (1, 1), 1)

输出结果为：

2.1213203435596424

这意味着曲线 $y = x^3$ 在点 $(1, 1)$ 处的曲率半径约为 2.12。