分支限界法求解货郎担问题

分支限界法（Branch and Bound）是一种用于求解组合优化问题的搜索算法，特别适用于解决像货郎担问题（Knapsack Problem）这样的整数线性规划问题。货郎担问题是一个经典的背包问题，目标是在给定的物品重量和价值约束下，选择物品使得总价值最大或总重量最小。

分支限界法的工作原理分为以下几个步骤：

1. **初始状态**：从问题的最原始状态开始，通常是最小子集或空背包。

2. **分支操作**：对于每个可能的决策（如是否选取某个物品），算法会创建一个新的子问题，并继续探索。

3. **限界函数**：利用已知的最优解信息（上界或下界），判断当前子问题是否有解，如果明显不满足目标（例如总重量超过背包容量），就直接剪枝，不再深入搜索。

4. **搜索策略**：通常采用广度优先搜索（BFS）或深度优先搜索（DFS），并根据问题的特性和搜索空间的特点可能调整。

5. **回溯**：如果所有子问题都无法达到目标，会选择最优解返回，这是通过回溯搜索过程实现的。

6. **更新最优解**：每次找到一个更好的解时，都会更新全局最优解。

相关问题

分支限界法求解货郎问题伪码

下面是使用分支限界法求解货郎问题的伪码：

class City:
    def __init__(self, name, distance):
        self.name = name
        self.distance = distance

def tsp(cities):
    n = len(cities)
    path = [0] * (n + 1)
    visited = [False] * n
    best_path = [0] * (n + 1)
    best_distance = float('inf')
    
    def calculate_distance(path):
        total_distance = 0
        for i in range(n):
            total_distance += cities[path[i]].distance[path[i+1]]
        return total_distance
    
    def branch_and_bound(curr_city, curr_distance, depth):
        nonlocal best_distance, best_path
        
        if depth == n:
            curr_distance += cities[curr_city].distance[0]
            if curr_distance < best_distance:
                best_distance = curr_distance
                best_path = path.copy()
        
        for i in range(1, n):
            if not visited[i]:
                path[depth] = i
                visited[i] = True
                new_distance = curr_distance + cities[curr_city].distance[i]
                
                if new_distance < best_distance:
                    branch_and_bound(i, new_distance, depth + 1)
                
                visited[i] = False
    
    branch_and_bound(0, 0, 0)
    
    return best_path, best_distance

这段伪码实现了一个`City`类来表示每个城市，其中包含了城市的名称和与其他城市的距离。`tsp`函数使用分支限界法来解决货郎问题。它通过递归地在每个节点处进行分支和限界来搜索最优路径。`path`列表用于保存当前的路径，`visited`列表用于标记已经访问过的城市。`best_path`和`best_distance`分别用于保存最优路径和最小距离。`calculate_distance`函数用于计算给定路径的总距离。`branch_and_bound`函数是核心的分支限界算法实现，它通过遍历每个未访问过的城市进行分支，并在每个节点处进行限界剪枝判断。最终，函数返回最优路径和最小距离。

请注意，这只是一个简化的伪码示例，实际的实现可能需要更多的优化和边界条件处理。

动态规划货郎担问题c++

动态规划货郎担问题是指在给定的n个城市之间，求解一条经过每个城市恰好一次的最短路径。这个问题可以使用动态规划算法来解决。具体来说，可以使用一个二维数组g[i][S]来表示从城市i开始，经过集合S中的所有城市，最终回到城市1的最短路径长度。其中，集合S是除了城市1之外的所有城市的集合。根据动态规划的思想，可以先求解子问题，再从子问题的解得到原问题的解。因此，可以按照以下步骤来求解动态规划货郎担问题：
. 初始化g[i][S]，当S中只有一个城市j时，g[i][{j}]的值为城市i到城市j的距离。
2. 对于集合S中的每个城市j，计算g[i][S]的值。具体来说，可以枚举S中除了j之外的所有城市k，计算g[k][S-{j}]的值，然后加上城市i到城市j的距离，取最小值即可。
3. 最终的答案是g[{2,3,...,n}]，即从城市1开始，经过除了城市1之外的所有城市，最终回到城市1的最短路径长度。

下面是动态规划货郎担问题的C++代码实现：

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;

const int MAXN = 20;
const int INF = 0x3f3f3f3f;

int n, cost[MAXN][MAXN], g[MAXN][1 << MAXN];

int tsp(int start, int state) {
    if (state == (1 << n) - 1) {
        return cost[start][0];
    }
    if (g[start][state] != -1) {
        return g[start][state];
    }
    int ans = INF;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        if ((state & (1 << i)) == 0) {
            ans = min(ans, cost[start][i] + tsp(i, state | (1 << i)));
        }
    }
    return g[start][state] = ans;
}

int main() {
    memset(g, -1, sizeof(g));
    cout << "请输入n的值" << endl;
    cin >> n;
    int cc[MAXN][MAXN];
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            cout << "请输入各成本值" << endl;
            cin >> cc[i][j];
            cost[i][j] = cc[i][j];
        }
    }
    cout << tsp(0, 1) << endl;
    return 0;
}