为什么不能直接第三列跟第一列交换一次，然后再跟第二列交换一次就行呢

如果直接将行列式的第三列跟第一列交换一次，然后再将第三列跟第二列交换一次，行列式的值会发生改变，因为这样会改变第一列和第二列之间的关系。

例如，对于一个 $3$ 阶行列式 $\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix}$，如果直接将第三列跟第一列交换一次，再将第三列跟第二列交换一次，得到的行列式为：

$\begin{vmatrix} c & b & a \\ f & e & d \\ i & h & g \end{vmatrix}$

而原来的行列式为：

$\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix}$

这两个行列式的值显然不同，因此不能直接将第三列跟第一列、第二列交换。

为了避免这种情况，需要通过一系列步骤来完成行列式互换，以保证互换后的行列式与原行列式等价。具体的操作方式是，将要互换的列先两两交换，直到要互换的列移到了最终的位置。例如，在将一个 $3$ 阶行列式的第一列和第三列交换时，可以先将第一列和第二列交换，然后再将第二列和第三列交换，这样就完成了第一列和第三列的交换，同时保持了行列式的值不变。