为什么不能直接第三列跟第一列交换一次，然后再跟第二列交换一次就行呢

如果直接将行列式的第三列跟第一列交换一次，然后再将第三列跟第二列交换一次，行列式的值会发生改变，因为这样会改变第一列和第二列之间的关系。

例如，对于一个 $3$ 阶行列式 $\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix}$，如果直接将第三列跟第一列交换一次，再将第三列跟第二列交换一次，得到的行列式为：

$\begin{vmatrix} c & b & a \\ f & e & d \\ i & h & g \end{vmatrix}$

而原来的行列式为：

$\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix}$

这两个行列式的值显然不同，因此不能直接将第三列跟第一列、第二列交换。

为了避免这种情况，需要通过一系列步骤来完成行列式互换，以保证互换后的行列式与原行列式等价。具体的操作方式是，将要互换的列先两两交换，直到要互换的列移到了最终的位置。例如，在将一个 $3$ 阶行列式的第一列和第三列交换时，可以先将第一列和第二列交换，然后再将第二列和第三列交换，这样就完成了第一列和第三列的交换，同时保持了行列式的值不变。

相关问题

创建一个4x4的整数数组，然后交换其第二列和第三列的数据。

以下是交换第二列和第三列的整数数组的Python代码：

# 创建4x4的整数数组
arr = [[1, 2, 3, 4],
       [5, 6, 7, 8],
       [9, 10, 11, 12],
       [13, 14, 15, 16]]

# 交换第二列和第三列的数据
for i in range(4):
    arr[i][1], arr[i][2] = arr[i][2], arr[i][1]

# 打印交换后的数组
for i in range(4):
    for j in range(4):
        print(arr[i][j], end=' ')
    print()

输出结果为：

1 3 2 4 
5 7 6 8 
9 11 10 12 
13 15 14 16 

n阶行列式行列式把最后一列换到第一列，倒数第二列换到第二列……..需要换多少次

对于 $n$ 阶行列式，将最后一列换到第一列，倒数第二列换到第二列，以此类推，需要进行 $\lfloor \frac{n}{2} \rfloor$ 次列交换。

这是因为，对于一个 $n$ 阶行列式，将最后一列换到第一列需要进行一次列交换，将倒数第二列换到第二列需要进行一次列交换，将倒数第三列换到第三列需要进行一次列交换，以此类推，当 $n$ 是奇数时，中间的列可以不用换，因为这个列不会在最终的结果中出现。因此，总共需要进行 $\lfloor \frac{n}{2} \rfloor$ 次列交换。

需要注意的是，每次进行列交换都会引入一个符号因子 $(-1)^{n-k}$，其中 $n$ 表示行列式的阶数，$k$ 表示当前进行交换的列数。因此，在进行列交换时，需要同时记录符号因子，并将其乘到行列式的值上。