三阶行列式想要吧第三行换到第一行可以直接把第三行换到第一行，为什么有时候需要第三行先跟第一二行换再跟第一行换

对于三阶行列式，如果要将第三行换到第一行，有时候可以直接进行交换，有时候则需要先将第三行与第一二行进行顺序互换，再将第三行与第一行进行顺序互换。其原因在于行列式的符号规则。

当第三行与第一行和第二行线性无关时，可以直接将第三行与第一行进行交换，不需要考虑符号。这是因为，行列式的值只与行列式中每一行（列）的元素值及其位置有关，而与它们的顺序无关。因此，将第三行与第一行进行交换不会改变行列式的值。

当第三行与第一行和第二行线性相关时，要将第三行与第一行进行交换，需要先将第三行与第一二行进行顺序互换，再将第三行与第一行进行顺序互换，并且需要考虑符号。这是因为，对于线性相关的两行，它们所在的向量空间的维度只有1，即它们张成的是一条直线。因此，将第三行与第一行进行交换会改变直线的方向和长度，进而改变行列式的值。为了保持行列式的值不变，需要先将第三行与第一二行进行顺序互换，使得互换后的三行线性无关，从而保持行列式的值不变。同时，由于顺序互换会引入符号因子，因此需要考虑符号。

相关问题

3阶行列式把第一列换到第三列可以直接换吗

在计算行列式的过程中，我们可以通过初等行变换或初等列变换来改变行列式的顺序，但是需要注意的是，交换任意两行或两列会改变行列式的符号，即行列式的值变为原来的相反数。因此，如果我们将第一列直接换到第三列，行列式的值也会变为原来的相反数。

具体来说，如果将 $A$ 的第一列直接换到第三列，得到的新行列式 $B$ 为：

$$
B=\begin{vmatrix}
a_{31}&a_{12}&a_{11}\\
a_{32}&a_{22}&a_{12}\\
a_{33}&a_{32}&a_{13}
\end{vmatrix}
$$

这个行列式的值与原来的行列式值相差一个负号，即：

$$
B=-\begin{vmatrix}
a_{11}&a_{12}&a_{13}\\
a_{21}&a_{22}&a_{23}\\
a_{31}&a_{32}&a_{33}
\end{vmatrix}
$$

因此，虽然直接将第一列换到第三列的计算方法与通过初等行变换或初等列变换改变行列式顺序的计算方法不同，但是它们都可以得到正确的行列式值。

3阶行列式把第一列换到第三列

设行列式 $A$ 为：

$$
A=\begin{vmatrix}
a_{11}&a_{12}&a_{13}\\
a_{21}&a_{22}&a_{23}\\
a_{31}&a_{32}&a_{33}
\end{vmatrix}
$$

现在我们将 $A$ 的第一列换到第三列，得到的新行列式为 $B$，则：

$$
\begin{aligned}
B&=
\begin{vmatrix}
a_{31}&a_{12}&a_{11}\\
a_{32}&a_{22}&a_{12}\\
a_{33}&a_{32}&a_{13}
\end{vmatrix}\\
&=a_{31}a_{22}a_{13}+a_{32}a_{23}a_{11}+a_{33}a_{12}a_{21}-a_{31}a_{23}a_{12}-a_{32}a_{12}a_{13}-a_{33}a_{22}a_{11}
\end{aligned}
$$

因此，将行列式的第一列换到第三列，其值为原来行列式值的相反数，即：

$$
\begin{vmatrix}
a_{31}&a_{12}&a_{11}\\
a_{32}&a_{22}&a_{12}\\
a_{33}&a_{32}&a_{13}
\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}
a_{11}&a_{12}&a_{13}\\
a_{21}&a_{22}&a_{23}\\
a_{31}&a_{32}&a_{33}
\end{vmatrix}
$$

这就是行列式的列的交换性质。