二自由度车辆动力学方程 手推

### 推导二自由度车辆动力学方程

对于二自由度车辆模型，主要考虑侧向运动和横摆角速度两个方面。该模型假设轮胎的纵向力不影响侧偏特性，并忽略悬架系统的动态效应。

#### 车辆坐标系定义
建立固定于地面的惯性坐标系 \( Oxy \)，以及随车体移动并绕质心旋转的车身坐标系 \( G\xi\eta \)[^1]。其中：

- \( x, y \): 表示车辆在大地坐标系中的位置；
- \( \psi \): 描述车辆朝向角度即航向角；
- \( v_x,v_y \): 分别表示沿车身坐标轴方向的速度分量；
- \( r \): 定义为汽车绕垂直通过其重心轴线转动时产生的横摆角速度；

#### 力学分析与建模
基于牛顿第二定律，在横向加速度等于作用于此方向上的合力除以质量的原则下得到如下表达式:

\[ m(\dot{v}_y + rv_x) = F_{f,y} + F_{r,y} \]

这里\(F_{f,y}\),\(F_{r,y}\)分别代表前后轮处受到的侧向力[^2]。

同样地，应用欧拉定理来描述围绕z轴(垂直纸面指向外)发生的转动情况，则有：

\[ I_z\dot{r}=l_fF_{f,y}-l_rF_{r,y} \]

此处\(I_z\)指代关于Z轴计算所得之转动惯量;而\(l_f,l_r\)则分别是前轴到质心距离同后轴至质心间距长度[^3]。

为了简化上述公式，引入侧偏刚度参数\(C_f,C_r\)用于表征各单一轮胎所能提供最大侧向抓地能力大小关系，从而可以近似认为：

\[ F_{f,y}=-C_f\alpha_f,\quad F_{r,y}=-C_r\alpha_r \]

其中αf, αr分别为前后轮对应的滑移角，它们由下面的关系给出：

\[ \tan{\alpha_f}=\frac{{v_y+l_fr}}{{v_x}},\qquad\tan{\alpha_r}=\frac{{v_y-l_rr}}{{v_x}} \]

当考虑到小角度情况下正切函数可被自变量本身代替这一事实之后，最终能够获得较为简洁形式的动力学微分方程式组作为结论[^4]。

from sympy import symbols, tan, simplify

m, Iz, l_f, l_r, C_f, C_r, vx, vy, psi_dot = symbols('m Iz l_f l_r C_f C_r vx vy psi_dot')

# Define slip angles under small angle approximation
alpha_f = (vy + l_f * psi_dot) / vx
alpha_r = (vy - l_r * psi_dot) / vx

# Lateral forces based on cornering stiffnesses and slip angles
Ffy = -C_f * alpha_f
 Fry = -C_r * alpha_r

# Equations of motion for lateral velocity and yaw rate
eq_vy = m*(vy.diff() + psi_dot*vx) + Ffy + Fry
 eq_psi_dot = Iz*psi_dot.diff() - l_f*Ffy + l_r*Fry

print(simplify(eq_vy))
print(simplify(eq_psi_dot))