直线电机位移状态空间方程

### 关于直线电机位移的状态空间方程

状态空间表示法是一种用于描述线性和非线性系统的数学建模方法。对于直线电机而言，其运动可以被看作是一个受控对象，在控制理论中通常通过建立状态空间方程来分析和设计控制器。

考虑一个简单的单输入单输出(SISO)直线电机系统，假设该系统只受到力的作用而产生沿单一方向的平动，则可以根据牛顿第二定律得到如下微分方程：

\[ m\ddot{x}(t)=F(t)-b\dot{x}(t)\]

其中 \(m\) 是质量, \(\ddot{x}\) 表示加速度, \(F(t)\) 代表作用在物体上的外力(即电磁推动力), 而\( b\dot{x} \) 则用来模拟粘滞摩擦效应[^1]。

为了转换成标准形式的状态空间表达式，定义两个状态变量:

- \(x_1=x\) (位置)
- \(x_2=\dot{x}=v\) (速度)

因此有：

\[ \begin{align*}
\dot{x}_1 &= x_2 \\
\dot{x}_2 &= \frac{1}{m}[u-bx_2]
\end{align*} \]

这里引入了新的符号 \( u=F/m \)，它实际上就是施加给系统的控制信号除以惯量后的结果；同时注意到原方程式中的阻尼项也被重新写入到了第二个子方程里[^2]。

最终可得矩阵形式的状态空间模型为：

\[ \left[\begin{array}{c}
\dot{x}_{1}\\
\dot{x}_{2}
\end{array}\right]=\underbrace{\left[\begin{array}{cc}
0 & 1\\
0 & -\frac{b}{m}
\end{array}\right]}_{A}\cdot\left[\begin{array}{c}
x_{1}\\
x_{2}
\end{array}\right]+\underbrace{\left[\begin{array}{c}
0\\
\frac{1}{m}
\end{array}\right]}_{B}\cdot u \]

以及输出方程（如果需要观测位置信息的话）：

\[ y=C\cdot X+D\cdot U = \left[1,\;0\right]\cdot\left[\begin{array}{c}
x_{1}\\
x_{2}
\end{array}\right]+0\cdot u \]

上述公式展示了如何构建一个基本的二阶动态系统的状态空间表述方式，适用于许多物理过程特别是机电一体化领域内的应用实例，比如这里的直线电机案例[^3]。

% MATLAB code snippet to define the state-space model of a linear motor.
A = [0 1;
     0 -(b/m)];
B = [0;
      1/m];
C = [1 0];
D = 0;

sys = ss(A,B,C,D);