风险量化模型——蒙特卡罗模拟 C++ 实现及案例

蒙特卡罗模拟是一种常见的风险量化方法，可以用于评估投资组合的风险、估计金融工具价格等。以下是一个简单的蒙特卡罗模拟的 C++ 实现及案例：

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <ctime>

using namespace std;

double option_price(double S, double K, double r, double sigma, double T, int N) {
    double dt = T / N;
    double u = exp(sigma * sqrt(dt));
    double d = 1 / u;
    double p = (exp(r * dt) - d) / (u - d);

    double **stock_price = new double*[N + 1]; // 存储股票价格的数组
    for (int i = 0; i <= N; i++) {
        stock_price[i] = new double[i + 1];
    }

    stock_price[0][0] = S;
    for (int i = 1; i <= N; i++) {
        for (int j = 0; j <= i; j++) {
            stock_price[i][j] = S * pow(u, j) * pow(d, i - j);
        }
    }

    double **option_value = new double*[N + 1]; // 存储期权价值的数组
    for (int i = 0; i <= N; i++) {
        option_value[i] = new double[i + 1];
    }

    for (int j = 0; j <= N; j++) {
        option_value[N][j] = fmax(stock_price[N][j] - K, 0);
    }

    for (int i = N - 1; i >= 0; i--) {
        for (int j = 0; j <= i; j++) {
            option_value[i][j] = exp(-r * dt) * (p * option_value[i + 1][j] + (1 - p) * option_value[i + 1][j + 1]);
        }
    }

    double price = option_value[0][0];

    for (int i = 0; i <= N; i++) {
        delete[] stock_price[i];
        delete[] option_value[i];
    }
    delete[] stock_price;
    delete[] option_value;

    return price;
}

double monte_carlo_simulation(double S, double K, double r, double sigma, double T, int N, int M) {
    double dt = T / N;

    double sum = 0.0;
    srand(time(NULL));
    for (int i = 0; i < M; i++) {
        double S_t = S;
        for (int j = 0; j < N; j++) {
            double epsilon = ((double) rand() / RAND_MAX - 0.5) * 2.0;
            S_t = S_t * exp((r - 0.5 * sigma * sigma) * dt + sigma * sqrt(dt) * epsilon);
        }
        double payoff = fmax(S_t - K, 0);
        sum += payoff;
    }

    double price = exp(-r * T) * sum / M;

    return price;
}

int main() {
    double S = 100.0; // 股票价格
    double K = 100.0; // 行权价格
    double r = 0.05; // 无风险利率
    double sigma = 0.2; // 波动率
    double T = 1.0; // 到期时间
    int N = 252; // 模拟的时间步数
    int M = 1000000; // 模拟的次数

    double option_price_mc = monte_carlo_simulation(S, K, r, sigma, T, N, M);
    double option_price_bs = option_price(S, K, r, sigma, T, N);

    cout << "Monte Carlo simulation price: " << option_price_mc << endl;
    cout << "Black-Scholes formula price: " << option_price_bs << endl;

    return 0;
}

本案例中，我们使用了两种方法来估计一个欧式看涨期权的价格：蒙特卡罗模拟和 Black-Scholes 公式。其中，Black-Scholes 公式是一种解析解，可以直接求出期权价格。而蒙特卡罗模拟则是一种数值方法，通过多次模拟股票价格的随机演化，来估计期权价格。

在本案例中，我们首先实现了一个 Black-Scholes 公式的求解函数 `option_price`，然后实现了一个蒙特卡罗模拟的函数 `monte_carlo_simulation`。最后，我们分别使用这两种方法来估计期权价格，并比较它们的结果。在模拟中，我们使用了 100 万次模拟，并将模拟的时间步数设为 252，即一年的交易日数。