使用matlab设计差分格式求解如下的椭圆形方程的代码 \left\{\begin{array}{c} -\Delta u+u^{3}=1, \quad 0 \leq x, y \leq 1 \\ \left.u\right|_{\partial G}=0 \end{array}\right. 和 \left\{\begin{array}{c} -\Delta u+100 u^{3}=1, \quad 0 \leq x, y \leq 1 \\ \left.u\right|_{\partial G}=0 \end{array}\right.

解决偏微分方程的数值方法之一是使用差分格式。下面给出求解这两个椭圆形方程的差分格式的MATLAB代码：

1. 使用五点差分格式求解 $-\Delta u+u^{3}=1$：

% 离散化步长
h = 0.01;
% 网格数量
n = 1 / h + 1;
% 构建网格
[x, y] = meshgrid(0:h:1);
% 初始值
u = zeros(n, n);
% 迭代次数
maxIter = 100000;
% 迭代误差
tol = 1e-6;
% 迭代
for k = 1:maxIter
    % 差分方程
    unew = u;
    for i = 2:n-1
        for j = 2:n-1
            unew(i,j) = (u(i-1,j) + u(i+1,j) + u(i,j-1) + u(i,j+1) + h^2 - h^2*u(i,j)^3) / 4;
        end
    end
    % 判断迭代是否收敛
    if max(max(abs(unew - u))) < tol
        break;
    end
    u = unew;
end
% 绘制结果
surf(x, y, u);

2. 使用五点差分格式求解 $-\Delta u+100u^{3}=1$：

% 离散化步长
h = 0.01;
% 网格数量
n = 1 / h + 1;
% 构建网格
[x, y] = meshgrid(0:h:1);
% 初始值
u = zeros(n, n);
% 迭代次数
maxIter = 100000;
% 迭代误差
tol = 1e-6;
% 迭代
for k = 1:maxIter
    % 差分方程
    unew = u;
    for i = 2:n-1
        for j = 2:n-1
            unew(i,j) = (u(i-1,j) + u(i+1,j) + u(i,j-1) + u(i,j+1) + h^2 - h^2*100*u(i,j)^3) / 4;
        end
    end
    % 判断迭代是否收敛
    if max(max(abs(unew - u))) < tol
        break;
    end
    u = unew;
end
% 绘制结果
surf(x, y, u);

需要注意的是，这两个差分格式都采用了五点差分格式，即使用了每个点周围的四个点来逼近二阶偏导数。第一个方程中 $u^3$ 的系数为1，而第二个方程中 $u^3$ 的系数为100。