t(n)=at(n/m)

这个函数是一个递归函数，其中t(n)表示输入大小为n时的函数值，而a和m分别表示常数和除数。这个函数的意义在于，它表示了一个问题规模为n时，如何将其分解成规模为n/m的子问题，并通过递归的方式来解决。

比如，如果我们要计算一个数组中所有元素的和，可以使用递归函数t(n) = t(n/m) + a*n，其中t(1) = a。这个函数的意义在于，如果数组的大小为n，我们可以将其分解为m个子数组，每个子数组大小为n/m，然后对每个子数组递归求和，最后再将所有子数组的和相加。这样就可以通过递归的方式来解决整个数组求和的问题。

另外，这个函数还可以表示一些算法的时间复杂度。例如，如果一个算法的时间复杂度满足t(n) = 2t(n/2) + n，那么它的时间复杂度就是O(nlogn)。这是因为每次将规模为n的问题分解成规模为n/2的子问题，然后再将子问题的结果合并，这样的递归深度为logn，每层的计算量为n，所以总的时间复杂度就是O(nlogn)。

总之，这个函数t(n) = at(n/m)表示了一个问题如何通过递归地分解成规模更小的子问题来解决，同时也可以用来表示一些算法的时间复杂度。

相关问题

优化代码function X=Narrowbandsignal(N,f0,deltf,fs,M) N1=N-M; xt=random('norm',0,1,[1,N1]); fl=f0*2/fs; dfl=deltf/fs; ht = fir1(M,[fl-dfl fl+dfl]); X=conv(xt,ht); return function [At,Ph,A2]=EnvelopPhase(X,f0,fs) HX=imag(hilbert(X)); [M,N]=size(X); t=0:1/fs:((N-1)/fs); Ac=X.cos(2*pi*f0*t)+HX.sin(2*pi*f0*t); As=HX.cos(2*pi*f0*t)-X.sin(2*pi*f0*t); Ph=atan(As./Ac); A2=Ac.*Ac+As.*As; At=sqrt(A2); N=20000;f0=10000; deltf=500; fs=22000; M=50; X=Narrowbandsignal(N,f0,deltf,fs, M) ; X=X/sqrt(var(X) ) ; [At,Ph ,A2]=EnvelopPhase(X, f0, fs) ; LA=0:0.05:4.5; hist(At, LA) ; title('包络A(t)样本值的分布直方图'); LP=-pi/2:0.05:pi/2; figure; hist(Ph, LP) ; title('相位Φ(t)样本值的分布直方图'); LA2=0:0.2:16; figure; hist(A2, LA2) ; title('包络平方A2(t)样本值的分布直方图');

这段代码可以进行一些优化，例如：

1. 函数 Narrowbandsignal 中可以直接使用 randn 代替 random('norm',0,1)，使得代码更加简洁。

2. 函数 EnvelopPhase 中可以使用 abs 函数代替 sqrt(Ac.^2 + As.^2)，使得代码更加简洁。

3. 函数 EnvelopPhase 中可以使用 linspace 代替手动计算 t，使得代码更加简洁。

4. 可以添加注释来解释代码的功能和变量的含义，使得代码更加易读易懂。

经过优化后的代码如下：

% 生成窄带信号并计算包络、相位和包络平方的样本值分布直方图

function [At,Ph,A2] = EnvelopPhaseDemo(N,f0,deltf,fs,M)

% 生成窄带信号
N1 = N - M;
xt = randn(1,N1);
fl = f0*2/fs;
dfl = deltf/fs;
ht = fir1(M,[fl-dfl fl+dfl]);
X = conv(xt,ht);

% 归一化
X = X/sqrt(var(X));

% 计算包络和相位
HX = imag(hilbert(X));
t = linspace(0,(N-1)/fs,N);
Ac = X.*cos(2*pi*f0*t) + HX.*sin(2*pi*f0*t);
As = HX.*cos(2*pi*f0*t) - X.*sin(2*pi*f0*t);
Ph = atan2(As, Ac);
At = abs(Ac + 1i*As);

% 计算包络平方
A2 = Ac.^2 + As.^2;

% 绘制样本值分布直方图
figure;
LA = 0:0.05:4.5;
histogram(At, LA);
title('包络A(t)样本值的分布直方图');

figure;
LP = -pi/2:0.05:pi/2;
histogram(Ph, LP);
title('相位Φ(t)样本值的分布直方图');

figure;
LA2 = 0:0.2:16;
histogram(A2, LA2);
title('包络平方A2(t)样本值的分布直方图');

end

这样优化后的代码更加简洁易读，同时也有更好的可读性和可维护性。

优化以下代码 function [At,Ph,A2]=EnvelopPhase(X,f0,fs) HX=imag(hilbert(X)); [M,N]=size(X); t=0:1/fs:((N-1)/fs); Ac=X.cos(2pif0t)+HX.sin(2pif0t); As=HX.cos(2pif0t)-X.sin(2pif0t); Ph=atan(As./Ac); A2=Ac.*Ac+As.*As; At=sqrt(A2); function X=Narrowbandsignal(N,f0,delt,fs,M); N1=N-M; xt=random(‘norm’,0,1,[1,N1]); f1=f0*2/fs; df=delt/fs; ht=fir1(M,[f1-df f1+df]); X=conv(xt,ht) return N=10000;f0=10000;delt=400;fs=22000;M=50; al=2;a2=4;a3=8; sitl=pi/6;sit2=pi/4;sit3=pi/3 X=Narrowbandsignal(N,f0,delt,fs,M); X=X/sqrt(var(X)); t=0:1/fs:((N-1)/fs); X1=X+alcos(2pif0t+sitl); X2=X+a2cos(2pif0t+sit2); X3=X+a3cos(2pif0t+sit3); [Atl,Ph1,A21]=EnvelopPhase(X1, f0, fs); [At2,Ph2,A22]=EnvelopPhase(X2, f0, fs); [At3,Ph3,A23]=EnvelopPhase(X3, f0, fs); LA=0:0.4:12; GA1=hist(Atl, LA); GA2=hist(At2, LA); GA3=hist(At3, LA); plot(LA,GA1,‘:’,LA,GA2,‘-’,LA,GA3,‘–’); title(“包络的分布直方图”); figure; LP=-pi/2:0.05:pi/2; GP1=hist((Ph1-sitl),LP); GP2=hist((Ph2-sit2),LP); GP3=hist((Ph3-sit3),LP); plot(LP,GP1,‘:’,LP,GP2,‘-’,LP,GP3,‘–’); title(“相位的分布直方图”); figure; LA2=0:1:120; GA21=hist(A21,LA2); GA22=hist(A22,LA2); GA23=hist(A23,LA2); plot(LA2,GA21,‘:’, LA2,GA22,‘-’,LA2,GA23,‘–’); title(‘包络平方值的分布直方图’);

以下是优化后的代码：

function [At,Ph,A2]=EnvelopPhase(X,f0,fs)
HX=imag(hilbert(X));
t=0:1/fs:((length(X)-1)/fs);
Ac=X.*cos(2*pi*f0*t)+HX.*sin(2*pi*f0*t);
As=HX.*cos(2*pi*f0*t)-X.*sin(2*pi*f0*t);
Ph=atan2(As,Ac);
A2=Ac.^2+As.^2;
At=sqrt(A2);
end

function X=Narrowbandsignal(N,f0,delt,fs,M)
N1=N-M;
xt=randn(1,N1);
f1=f0*2/fs;
df=delt/fs;
ht=fir1(M,[f1-df f1+df]);
X=conv(xt,ht);
X=X(1:N);
end

N=10000;
f0=10000;
delt=400;
fs=22000;
M=50;
al=2;
a2=4;
a3=8;
sitl=pi/6;
sit2=pi/4;
sit3=pi/3;

X=Narrowbandsignal(N,f0,delt,fs,M);
X=X/sqrt(var(X));

t=0:1/fs:((N-1)/fs);

X1=X+al*cos(2*pi*f0*t+sitl);
X2=X+a2*cos(2*pi*f0*t+sit2);
X3=X+a3*cos(2*pi*f0*t+sit3);

[Atl,Ph1,A21]=EnvelopPhase(X1, f0, fs);
[At2,Ph2,A22]=EnvelopPhase(X2, f0, fs);
[At3,Ph3,A23]=EnvelopPhase(X3, f0, fs);

LA=0:0.4:12;
GA1=histcounts(Atl, LA);
GA2=histcounts(At2, LA);
GA3=histcounts(At3, LA);
figure;
plot(LA,GA1,':',LA,GA2,'-',LA,GA3,'--');
title('包络的分布直方图');

LP=-pi/2:0.05:pi/2;
GP1=histcounts((Ph1-sitl),LP);
GP2=histcounts((Ph2-sit2),LP);
GP3=histcounts((Ph3-sit3),LP);
figure;
plot(LP,GP1,':',LP,GP2,'-',LP,GP3,'--');
title('相位的分布直方图');

LA2=0:1:120;
GA21=histcounts(A21,LA2);
GA22=histcounts(A22,LA2);
GA23=histcounts(A23,LA2);
figure;
plot(LA2,GA21,':', LA2,GA22,'-',LA2,GA23,'--');
title('包络平方值的分布直方图');

主要的优化包括：

1. 使用点乘（.*）和平方（.^2）代替矩阵乘法和幂运算，这样可以提高代码的执行效率。

2. 使用 atan2() 函数代替 atan() 函数，这样可以避免计算出现奇点的情况。

3. 使用 histcounts() 函数代替 hist() 函数，这样可以更方便地进行直方图统计。