用QR算法求解矩阵的全部特征值

QR算法是一种求解矩阵全部特征值和特征向量的迭代算法。其基本思想是通过矩阵的QR分解，将矩阵不断地迭代为一个上三角矩阵，使得其对角线上的元素逐渐收敛到特征值。具体来说，QR算法的步骤如下：

1. 对于一个n阶矩阵A，取一个n维随机向量x0，并进行单位化。

2. 对x0进行n次迭代，每次迭代都将Ax(i)表示为q(i)r(i)，其中q(i)是一个正交矩阵，r(i)是一个上三角矩阵，即Ax(i)=q(i)r(i)。

3. 将r(n)与q(n)相乘得到一个新的矩阵A(n+1)，即A(n+1)=r(n)q(n)，它比A更接近于一个上三角矩阵。

4. 重复步骤2和步骤3，直到A(n+1)的对角线元素收敛于矩阵A的特征值。

在实际应用中，QR算法可能会出现收敛速度慢、计算量大等问题。为了解决这些问题，可以采用一些优化技术，如带位移的QR算法和双步QR算法等。

相关问题

matlab实现带位移的QR算法求解矩阵的特征值

在MATLAB中，可以使用内置的`eig`函数结合QR分解来求解矩阵的特征值，尤其是当涉及到非对称矩阵且需要考虑位移时，可以采用带位移的QR算法。这个过程大致分为以下几个步骤：

1. **输入矩阵**：首先，你需要准备一个矩阵A。

A = ...; % 代入你要分析的矩阵

2. **QR分解**：利用`qr`函数对矩阵A进行QR分解，得到Q和R部分。

[Q, R] = qr(A);

3. **计算特征值**：通常，通过R矩阵的上三角形式直接获得特征值。对于标准的QR分解，可以直接从R的主对角线元素获取。然而，如果要考虑位移，你需要使用更复杂的公式，这通常涉及到数值微分或其他特殊处理。 MATLAB 的 `eig` 函数默认考虑的是标准情况，如需加上位移，可能需要自定义计算。

4. **位移处理**：如果你有具体的位移信息，比如来自理论知识或是其他程序提供的数据，你可以将这些位移添加到计算后的特征值上。这通常涉及数学运算，例如：

d = ...; % 位移向量
eigenvalues_with_shift = diag(R) + d;

5. **检查结果**：最后，你可以验证计算出的特征值是否合理，比如它们满足实数或复数共轭对称等性质。

[V, D] = eig(Q'*A*Q); % 使用Householder反射法进行更精确的近似
is_close = allclose(eigenvalues_with_shift, Diag(D)); % 比较特征值是否接近

带 Wilkinson 位移的隐式对称 QR 算法求解对称矩阵特征值matlab代码，要求使用householder三对角化

以下是使用 Householder 三对角化和带 Wilkinson 位移的隐式对称 QR 算法求解对称矩阵特征值的 Matlab 代码：

function [eigenvalues, eigenvectors] = symmQR(A, tol)
% A: n x n 对称矩阵
% tol: 容许误差
% eigenvalues: n x 1 特征值向量
% eigenvectors: n x n 特征向量矩阵

n = size(A, 1);
eigenvalues = diag(A); % 初始化特征值向量
eigenvectors = eye(n); % 初始化特征向量矩阵

while true
    for i = 1:n-1
        if abs(A(i+1,i)) < tol % 判断下对角线元素是否为零
            continue
        end
        
        % 计算 Householder 变换矩阵
        [v, beta] = house(A(i:i+1,i));
        H = blkdiag(eye(i-1), v*v'/beta, eye(n-i-1));
        
        % 对矩阵进行 Householder 三对角化
        A = H * A * H;
        eigenvectors = eigenvectors * H;
        
        % 对带 Wilkinson 位移的隐式 QR 算法进行迭代
        [mu, shift] = wilkinsonShift(A(n-1:n,n-1:n));
        [Q, R] = qr(A - mu*eye(n));
        A = R * Q + mu*eye(n);
        
        % 更新特征值向量
        eigenvalues(i:i+1) = A(i:i+1,i:i+1);
    end
    
    % 检查是否满足停止条件
    if max(abs(tril(A,-1))) < tol
        break
    end
end

% 对特征向量矩阵进行正交化
for i = 1:n
    for j = 1:i-1
        eigenvectors(:,i) = eigenvectors(:,i) - (eigenvectors(:,i)'*eigenvectors(:,j)) * eigenvectors(:,j);
    end
    eigenvectors(:,i) = eigenvectors(:,i) / norm(eigenvectors(:,i));
end

end

function [v, beta] = house(x)
% 计算 Householder 变换矩阵
sigma = norm(x);
if x(1) >= 0
    v1 = x(1) + sigma;
else
    v1 = x(1) - sigma;
end
v = x / v1;
v(1) = 1;
beta = 2 / (v'*v);
end

function [mu, shift] = wilkinsonShift(A)
% 计算带 Wilkinson 位移的隐式 QR 算法中的位移参数
d = (A(1,1) - A(2,2)) / 2;
if d >= 0
    mu = A(2,2) - A(2,1)^2 / (d + sqrt(d^2 + A(2,1)^2));
else
    mu = A(2,2) - A(2,1)^2 / (d - sqrt(d^2 + A(2,1)^2));
end
shift = A(2,2) - mu;
end

其中 `house` 函数用于计算 Householder 变换矩阵，`wilkinsonShift` 函数用于计算带 Wilkinson 位移的隐式 QR 算法中的位移参数。函数返回特征值向量和特征向量矩阵。