用QR算法迭代求解矩阵A的所有特征值 matlab实现

QR算法是一种用于计算矩阵特征值的数值方法，特别适用于大型稀疏矩阵。在MATLAB中，可以使用`eigs`函数结合`qr`函数来实现QR分解并求解特征值。以下是基本步骤：

1. **准备输入矩阵**：

A = ...; % 你需要求解特征值的矩阵

2. **使用eigs函数**：
该函数默认会找到最大的k个奇异值对应的左奇异向量，如果你想要所有特征值，可以设置选项`'lm'`：

[V, D] = eigs(A, 'lm', n); % n是希望找到的特征值的数量

这里的V是一组归一化的特征向量矩阵，D是对角矩阵，对角线元素是对应的特征值。

3. **应用QR分解**：
由于`eigs`直接返回的是特征值，为了得到准确的实数特征值，需要先对V应用QR分解：

[Q, R] = qr(V);

然后通过R矩阵和特征值D来确定精确的特征值。

4. **调整特征值**：
通常，`eigs`可能会返回复数特征值对的共轭形式。如果你想获得单个特征值，可以使用`diag`和`real`函数：

D = real(diag(R \ D)); % 使用R的逆将复数对转换为实数

**注意**：对于非常大的矩阵，这可能不是最高效的实现，因为`eigs`内部已经进行了优化。对于大型稀疏矩阵，你应该考虑使用更专业的工具如ARPACK。

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function [eigenvalues, eigenvectors] = symmQR(A, tol)
% A: n x n 对称矩阵
% tol: 容许误差
% eigenvalues: n x 1 特征值向量
% eigenvectors: n x n 特征向量矩阵

n = size(A, 1);
eigenvalues = diag(A); % 初始化特征值向量
eigenvectors = eye(n); % 初始化特征向量矩阵

while true
    for i = 1:n-1
        if abs(A(i+1,i)) < tol % 判断下对角线元素是否为零
            continue
        end
        
        % 计算 Householder 变换矩阵
        [v, beta] = house(A(i:i+1,i));
        H = blkdiag(eye(i-1), v*v'/beta, eye(n-i-1));
        
        % 对矩阵进行 Householder 三对角化
        A = H * A * H;
        eigenvectors = eigenvectors * H;
        
        % 对带 Wilkinson 位移的隐式 QR 算法进行迭代
        [mu, shift] = wilkinsonShift(A(n-1:n,n-1:n));
        [Q, R] = qr(A - mu*eye(n));
        A = R * Q + mu*eye(n);
        
        % 更新特征值向量
        eigenvalues(i:i+1) = A(i:i+1,i:i+1);
    end
    
    % 检查是否满足停止条件
    if max(abs(tril(A,-1))) < tol
        break
    end
end

% 对特征向量矩阵进行正交化
for i = 1:n
    for j = 1:i-1
        eigenvectors(:,i) = eigenvectors(:,i) - (eigenvectors(:,i)'*eigenvectors(:,j)) * eigenvectors(:,j);
    end
    eigenvectors(:,i) = eigenvectors(:,i) / norm(eigenvectors(:,i));
end

end

function [v, beta] = house(x)
% 计算 Householder 变换矩阵
sigma = norm(x);
if x(1) >= 0
    v1 = x(1) + sigma;
else
    v1 = x(1) - sigma;
end
v = x / v1;
v(1) = 1;
beta = 2 / (v'*v);
end

function [mu, shift] = wilkinsonShift(A)
% 计算带 Wilkinson 位移的隐式 QR 算法中的位移参数
d = (A(1,1) - A(2,2)) / 2;
if d >= 0
    mu = A(2,2) - A(2,1)^2 / (d + sqrt(d^2 + A(2,1)^2));
else
    mu = A(2,2) - A(2,1)^2 / (d - sqrt(d^2 + A(2,1)^2));
end
shift = A(2,2) - mu;
end

其中 `house` 函数用于计算 Householder 变换矩阵，`wilkinsonShift` 函数用于计算带 Wilkinson 位移的隐式 QR 算法中的位移参数。函数返回特征值向量和特征向量矩阵。

带wilkinson位移的隐式对称QR算法求对称矩阵特征值matlab代码

以下是带Wilkinson位移的隐式对称QR算法求对称矩阵特征值的Matlab代码：

function [eigvals, eigvecs] = wilkinson_qr_shift(A, tol)
% A: 输入的对称矩阵
% tol: 控制精度的参数
% eigvals: A的特征值
% eigvecs: A的特征向量

n = size(A, 1);
eigvals = zeros(n, 1);
eigvecs = eye(n);

while n > 1
    while abs(A(n, n-1)) > tol
        % 计算Wilkinson位移
        mu = A(n, n);
        [Q, R] = qr(A - mu * eye(n));
        A = R * Q + mu * eye(n);
    end
    eigvals(n) = A(n, n);
    n = n - 1;
    if n == 1
        eigvals(n) = A(n, n);
        break;
    end
    % 用2×2的迭代方法求解A22的特征值
    a = A(n-1, n-1);
    b = A(n-1, n);
    c = A(n, n-1);
    d = A(n, n);
    lambda1 = (a + d + sqrt((a + d)^2 - 4*(a*d - b*c))) / 2;
    lambda2 = (a + d - sqrt((a + d)^2 - 4*(a*d - b*c))) / 2;
    % 对A进行相似变换
    [Q, R] = qr(A - lambda2 * eye(n));
    A = R * Q + lambda2 * eye(n);
    % 保存特征向量
    eigvecs(:, n) = Q * eigvecs(:, n);
    eigvecs(:, n-1) = Q * eigvecs(:, n-1);
    eigvals(n) = lambda2;
    eigvals(n-1) = lambda1;
    n = n - 1;
end
end

注意，这段代码实现的是带Wilkinson位移的隐式对称QR算法，用于求解对称矩阵的特征值和特征向量。其中，`tol`是控制精度的参数，一般取一个较小的值如1e-12。函数返回的结果包括特征值和特征向量。