matlab用PLU分解法求线性方程组

MATLAB是一种强大的数值计算软件，其中包括线性代数运算，如PLU分解法用于求解线性方程组。PLU分解（也称为LU分解）是指将矩阵A分解成三个矩阵的乘积：A = PLU，其中P是一个行交换矩阵，L是下三角矩阵（单位元素除了对角线外均为0），U是上三角矩阵。对于线性方程组Ax=b，通过这样的分解，可以将其转化为两个步骤：

1. **前向替代**（Forward substitution）：先用L的上三角部分去更新b，得到y = U * b。
2. **后向替代**（Backward substitution）：再用P的行交换作用于y，求得x = P^T * y。

在MATLAB中，可以使用`lu(A)`函数直接对矩阵A进行PLU分解，然后用`x = A \ b`的形式求解，或者利用`solve(A,b,'lumpoly')`来同时求解和分解，它内部已经进行了PLU分解。

% 示例
A = [1 2; 3 4]; % 线性方程组的系数矩阵
b = [5; 6];     % 方程组右侧的常数项

[L,U,p] = lu(A); % 分解A为PLU形式
y = U \ (p*b);   % 使用后向替代求解y
x = p'\y;        % 使用前向替代求解x