最小二乘法求三次函数参数

### 使用最小二乘法计算三次多项式系数

为了通过最小二乘法确定一个三次多项式的参数，可以采用数值方法或编程工具来完成这一过程。下面介绍一种基于Python的方法以及提供一段C++代码作为参考。

#### Python 实现方式

在Python中，`numpy`库提供了便捷的功能来进行此类操作。给定一组观测数据点\(_x\)和对应的测量值\(_y\)，可以通过调用`numpy.polyfit()`函数轻松获得最佳拟合的三次多项式的四个系数\(a_3, a_2, a_1, a_0\)：

import numpy as np

# 假设这是你的输入数据
xs = [0, 1, 2, 3, 4]  
ys = [-1, 0.7, 0.9, 0.8, -1]

# 执行最小二乘法拟合得到四次项至常数项的系数列表
coefficients = np.polyfit(xs, ys, deg=3)

print("The coefficients of the cubic polynomial are:", coefficients)

这段程序会输出形如\[a_3, a_2, a_1, a_0\]形式的结果数组，其中每个元素代表相应幂级数前的比例因子[^2]。

#### C++ 实现思路

对于希望利用C++实现同样功能的情况，则可能需要手动编写算法或者借助第三方线性代数库的帮助。这里给出了一种简化版的做法，它读取文件中的数据并应用矩阵运算求解未知变量：

#include <iostream>
#include "matrix_operations.h" // 自定义头文件用于处理矩阵运算

using namespace std;

int main(){
    double x[1026];
    double y[1026];

    // 加载来自"data.txt"的数据集
    ReadFile("data.txt", 1026, x, y);

    Matrix_<double> F;
    
    // 计算设计矩阵并与响应向量相乘以获取最终结果F
    Multinomial(F, x, y, 1026, 10);
    
    cout << "Coefficients matrix:\n";
    cout << F << endl;

    return 0;
}

此段代码展示了如何加载外部数据并通过自定义函数`Multinomial()`构建设计矩阵（Design Matrix），进而解决多元回归问题从而得出目标多项式的各个系数[^3]。