已知 {Nt}t>o 是速率为 入的 Poisson 过程,试求(1)(4分)P{N2=1,N3=3}(2)(4分) E(N2|N;=3); (3)(4分) E(N₂N3) ; (4)(3分) E(T|N2=1)(其中 Tn为事件第 n 次发生的时刻)

好的，我会根据您的问题进行回答，不会透露您的任何要求。针对您的问题，我分别进行回答如下：

(1)P{N2=1,N3=3}:
由于 {Nt}t>o 是速率为 入的 Poisson 过程，因此在时间段 [0,2] 中，事件发生的次数为 Poisson 分布，其概率为 P{N2=1}=e^(-λ) λ^1/1!=λe^(-λ)。在时间段 [2,3] 中，事件发生的次数为 Poisson 分布，其概率为 P{N3-N2=2}=e^(-λ) λ^2/2!=λ^2/2 e^(-λ)。因此，P{N2=1,N3=3}=P{N2=1}×P{N3-N2=2}=λe^(-λ) × λ^2/2 e^(-λ)=(1/2)λ^3e^(-2λ)。

(2)E(N2|N1=3):
由于 {Nt}t>o 是速率为 入的 Poisson 过程，因此在时间段 [0,1] 中，事件发生的次数为 Poisson 分布，其概率为 P{N1=3}=e^(-λ) λ^3/3!=λ^3/6 e^(-λ)。在时间段 [1,2] 中，事件发生的次数为 Poisson 分布，其概率为 P{N2-N1=1}|N1=3=e^(-λ) λ^1/1!=λ e^(-λ)。因此，对于给定的 N1=3，有 E(N2|N1=3)=N1+λ/μ=3+λ/μ。

(3)E(N2N3):
由于 {Nt}t>o 是速率为 入的 Poisson 过程，因此在时间段 [0,2] 中，事件发生的次数为 Poisson 分布，其概率为 P{N2=2}=e^(-λ) λ^2/2!=λ^2/2 e^(-λ)。在时间段 [2,3] 中，事件发生的次数为 Poisson 分布，其概率为 P{N3-N2=1}=e^(-λ) λ^1/1!=λ e^(-λ)。因此，E(N2N3)=E(N2)×E(N3-N2)=λ×(λ/μ)=λ^2/μ。

(4)E(T|N2=1):
由于 {Nt}t>o 是速率为 入的 Poisson 过程，因此事件发生的时间间隔服从指数分布。因此，对于给定的 N2=1，T2 与 N1、N2+N3、...、Nk (其中 Nk≥3) 相互独立，且 T2、T3、...、Tk 服从参数为 λ 的指数分布。因此，E(T|N2=1)=1/λ。