已知岩石样品的密度为ρ=2g/cm3,比热容为C=0.75,热传导系数为K=4.4,假设岩石对光吸收率为η=0.6,初始温度T0＝300K．利用matlab根据拉普拉斯求沿x轴速度v移动的基模高斯激光辐照岩石温度场，再根据热位移平衡方程求得应力场

由热传导方程和光吸收率可得：

$$\frac{\partial T}{\partial t}=K\frac{\partial^2 T}{\partial x^2}+\frac{P_0}{C}\eta\exp(-\frac{x^2}{w^2})$$

其中，$P_0$为激光功率，$w$为激光束腰半径。

使用matlab求解上述偏微分方程，可以得到岩石的温度分布。

然后，利用热位移平衡方程求解应力场：

$$\rho C\frac{\partial u}{\partial t}=K\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\alpha u\frac{\partial T}{\partial t}$$

其中，$\alpha$为线膨胀系数，$u$为位移。

将求得的温度场代入上式，使用matlab求解上述偏微分方程，可以得到岩石的应力分布。

相关问题

已知岩石样品的密度为ρ=2g/cm3,比热容为C=0.75,热传导系数为K=4.4,假设岩石对光吸收率为η=0.6,初始温度T0＝300K．利用matlab根据拉普拉斯求沿x轴速度v移动的基模高斯激光辐照岩石温度场及应力场

由热传导方程和应力平衡方程可得：

$$\rho C\frac{\partial T}{\partial t} = K\frac{\partial^2 T}{\partial x^2} + Q(x,t)$$

$$\frac{\partial \sigma}{\partial x} = 0$$

其中，$T$为温度场，$\sigma$为应力场，$Q(x,t)$为热源项，表示光吸收后转化成热能的能量密度。

考虑高斯激光的辐射，可以将热源项表示为：

$$Q(x,t) = \frac{4P}{\pi w^2}\exp\left(-\frac{4x^2}{w^2}\right)\exp\left(-\alpha t\right)$$

其中，$P$为激光功率，$w$为激光束宽度，$\alpha$为光吸收系数。

根据拉普拉斯变换的方法，可以得到温度场的解析解为：

$$T(x,t) = \frac{4P}{\pi \rho C w^2}\int_0^t \frac{1}{\sqrt{\pi \alpha (t-\tau)}}\exp\left(-\frac{4x^2}{w^2}\frac{\tau}{t-\tau}\right)\exp\left(-\frac{\alpha \tau}{t-\tau}\right)d\tau$$

应力场的解析解为：

$$\sigma(x,t) = \frac{4P}{\pi w^2}\exp\left(-\frac{4x^2}{w^2}\right)\left(1-\frac{2}{\pi}\int_0^t \frac{1}{\sqrt{\pi \alpha (t-\tau)}}\exp\left(-\frac{4x^2}{w^2}\frac{\tau}{t-\tau}\right)\exp\left(-\frac{\alpha \tau}{t-\tau}\right)d\tau\right)$$

其中，$x$为沿$x$轴的坐标。

将上述解析解代入matlab程序中，就可以得到岩石的温度场和应力场随时间的变化情况。

已知作用激光功率为P=260w,半径为w=1.4cm的基模高斯激光，已知岩石样品的密度为ρ=2g/cm3,比热容为C=0.75J/(g.K),热传导系数为K=4.4W/(m.K),假设岩石对光吸收率为η=0.6,初始温度T0＝300K．利用matlab求出一束沿x轴正向以扫描速度v=0.013m/s的激光作用下t=3s后材料温度场

这道题可以利用热传导方程来求解，热传导方程为：
∂T/∂t = (K/ρC) ∇²T + Q/ρC
其中，T为温度场，t为时间，K为热传导系数，ρ为密度，C为比热容，Q为吸收光能转化为热能的速率。

由于光是沿x轴正向扫描的，因此我们可以将温度场分解为一个沿x轴正向的温度分量和一个与x无关的温度分量，即：
T(x,y,z,t) = T0(y,z) + Tx(x,y,z,t)
其中，T0为初始温度场，Tx为沿x轴正向的温度场。

将温度场分解后，热传导方程变为：
∂Tx/∂t = (K/ρC) (∂²Tx/∂x² + ∂²Tx/∂y² + ∂²Tx/∂z²) + Q/ρC

根据高斯光束的功率分布公式，可以求得光束在横向（y、z方向）的光强分布为：
I(y,z) = 2P/(πw²) exp(-2(y²+z²)/w²)
其中，P为激光功率，w为光束半径。

将光强分布代入吸收光能转化为热能的速率公式，可以求得热源项Q为：
Q(x,y,z,t) = ηI(y,z)/V
其中，η为吸收率，V为单位体积岩石的质量，即密度ρ。

综上所述，我们可以列出热传导方程的数值解算法如下：
1. 网格化空间，将x轴方向离散化为Nx个网格，y、z方向离散化为Ny、Nz个网格。
2. 初始化温度场Tx为0，初始温度场T0为300K。
3. 对于每个时间步长Δt，依次求解每个网格点的温度Tx(x,y,z,t+Δt)：
a. 计算该点处的热源项Q(x,y,z,t)。
b. 利用差分法，将热传导方程离散化为：
Tx(i,j,k,t+Δt) = Tx(i,j,k,t) + (KΔt/ρC) * (Tx(i+1,j,k,t) - 2Tx(i,j,k,t) + Tx(i-1,j,k,t) + Tx(i,j+1,k,t) - 2Tx(i,j,k,t) + Tx(i,j-1,k,t) + Tx(i,j,k+1,t) - 2Tx(i,j,k,t) + Tx(i,j,k-1,t)) + Q(i,j,k,t) * Δt/ρC
其中，i、j、k分别表示x、y、z方向的网格编号。
4. 重复步骤3，直到t=3s时停止迭代。

下面是Matlab代码实现：