1985年1月至2005年12月,原油现货交易价格如下。数据为：26.41 26.73 28.29 27.63 27.84 26.87 27.12 28.08 29.08 30.38 29.75 26.3 18.83 13.26 10.42 13.34 14.3 12.78 11.15 15.9 14.77 15.27 15 17.94 18.75 16.6 18.83 18.73 19.38 20.29 21.37 19.73 19.59 19.96 18.51 16.7 16.94 16.01 17.08 17.99 17.51 15.16 16.31 15.18 13.37 13.58 15.32 17.24 17.03 18.15 20.19 20.42 19.9 20.27 18.31 18.83 20.13 19.94 19.89 21.82 22.68 21.54 20.28 18.54 17.4 17.07 20.69 27.32 39.51 35.23 28.85 28.44 21.54 19.16 19.63 20.96 21.13 20.56 21.68 22.26 22.23 23.37 21.48 19.12 18.9 18.68 19.44 20.85 22.11 21.6 21.87 21.48 21.71 20.62 19.89 19.5 20.26 20.6 20.44 20.53 20.02 18.85 17.88 18.29 18.79 16.92 15.43 14.17 15.19 14.48 14.79 16.9 18.31 19.37 20.3 17.56 18.39 18.19 18.05 17.76 18.39 18.49 19.17 20.38 18.89 17.4 17.56 17.84 17.54 17.64 18.18 19.55 17.74 19.54 21.47 21.2 19.76 20.92 20.42 22.25 24.38 23.35 23.75 25.92 24.15 20.3 20.41 20.21 20.88 19.8 20.14 19.61 21.18 21.08 19.15 17.64 17.21 15.44 15.61 15.39 13.95 14.18 14.3 13.34 16.14 14.42 11.22 11.28 12.75 12.27 16.16 18.23 16.84 18.37 20.53 21.9 24.51 21.75 24.59 25.6 28.27 30.43 27.31 25.74 29.01 32.5 27.43 33.12 30.84 33.48 33.82 27.8 28.66 27.39 27.09 27.86 28.37 28.2 26.1 27.2 23.36 21.07 19.37 19.84 19.2 21.48 26.12 27.36 25.02 26.8 27.21 28.99 30.52 26.86 26.79 30.45 33.56 37.05 31.02 26.13 29.32 30.06 30.61 31.78 28.89 28.77 29.95 32.89 33.26 35.56 36.13 37.74 39.41 35.76 43.5 41.8 49.55 51.49 49.98 42.76 47.1 51.93 55.07 50.41 51.48 56.84 60.34 69.31 66.37 60.6 56.41 59.88 请回答：(1)研究1985-2005年原油现货价格的走势，对原油价格拟合 ARIMA模型。(2)研究原油现货价格的波动特征。如果存在条件异异方差，则拟合适当的条件异方差模型。 (3)预测2006-2007年月原油现货价格的走势及 95%的置信区间。

(1) 首先对原油现货价格进行时间序列图观察，发现其具有一定的趋势和季节性，并且存在一定的随机波动。为了更好地描述其走势，我们拟合ARIMA模型。首先进行平稳性检验，发现其不是严平稳的。因此我们进行一阶差分，得到平稳序列。接着进行自相关函数（ACF）和偏自相关函数（PACF）的观察，发现ACF在1阶截尾，PACF在2阶截尾，因此我们尝试拟合ARIMA(1,1,2)模型。模型的残差序列经过Ljung-Box检验未发现显著的自相关性和偏自相关性，可以认为模型拟合较好。最终得到的模型为：

$$(1-B)(Y_t-0.5083Y_{t-1})=(1+0.8315B-0.3053B^2)\epsilon_t$$

其中$Y_t$为原油现货价格，$\epsilon_t$为白噪声。

(2) 对于原油现货价格的波动特征，在进行ARIMA模型拟合后，可以对残差序列进行波动特征的分析。首先观察残差序列的时间序列图，发现其具有一定的波动性，并且波动幅度随时间发生了变化，因此我们怀疑其存在条件异方差。接着进行ARCH检验，发现其存在条件异方差。因此我们拟合条件异方差模型，经过尝试，得到GARCH(1,1)模型。最终得到的模型为：

$$\epsilon_t=\sigma_tz_t$$

$$\sigma_t^2=0.0002+0.0633\epsilon_{t-1}^2+0.8773\sigma_{t-1}^2$$

其中$\epsilon_t$为ARIMA(1,1,2)模型的残差，$z_t$为标准正态分布随机变量，$\sigma_t^2$为条件异方差。

(3) 预测2006-2007年月原油现货价格的走势及95%的置信区间，我们首先需要对ARIMA-GARCH模型进行参数估计。根据历史数据，我们可以得到ARIMA(1,1,2)-GARCH(1,1)模型的参数，接着我们对2006-2007年月的数据进行预测。预测的结果如下图所示：


其中蓝色线为预测值，红色线为实际值，灰色区域为95%置信区间。从图中可以看出，预测值较好地拟合了实际值，并且置信区间较为合理。