CAP公钥和私钥的生成

### CAP加密算法的公钥和私钥生成

对于CAP（假设为特定场景下的非对称加密协议，但请注意实际中并没有广泛认知的名为CAP的标准加密算法），可以借鉴常见的非对称加密机制如RSA来解释公钥和私钥的生成过程。下面基于类似逻辑描述这一流程。

#### 密钥生成概述

在创建用于加密通信的一对密钥——即公开给外界使用的公钥以及由接收者保管的秘密私钥时，通常涉及以下几个核心要素：

- **大素数选取**：挑选两个足够大的不同质数\( p \) 和 \( q \)，这两个数值越大越能增强安全性[^1]。

- **计算模数N**：利用上述选定的大素数相乘得到\( N = pq \)[^4]。此值将在后续运算过程中充当公共参数的一部分，在加/解密操作里不可或缺。

- **欧拉函数\(\phi (N)\)** ：求得\( \phi(N) = (p−1)(q−1) \)，该结果用来辅助确定另一个重要成分e。

- **选择共轭指数e**：寻找一个小于\(\phi(N)\)并与之互质的小整数作为加密指数e，并确保其易于快速幂取余运算以提高效率。

- **计算解密指数d**：依据条件\[ ed ≡ 1 (\text{mod}\space{\phi}(n)) \]找到唯一存在的正整数d使得ed除以\(\phi(n)\)后的余数等于1，这一步骤可通过扩展欧几里德算法完成。

最终形成的公钥形式为\((e, n)\)，而对应的私钥则是\((d,n)\)。

#### Python代码示例
以下是简化版模拟生成一对适用于假定CAP系统的公私钥对Python程序片段:

from sympy import randprime, gcd, mod_inverse

def generate_keys():
    # Select two large primes p and q
    p = randprime(10**15, 10**16)
    q = randprime(10**15, 10**16)

    while p == q:
        q = randprime(10**15, 10**16)

    phi_n = (p - 1)*(q - 1)
    
    # Choose an integer e such that 1 < e < phi_n and is coprime with phi_n.
    for potential_e in range(2, phi_n):
        if gcd(potential_e, phi_n) == 1:
            e = potential_e
            break
            
    d = mod_inverse(e, phi_n)

    public_key = {"e": e, "n": p*q}
    private_key = {"d": d, "n": p*q}

    return public_key,private_key


public_key,private_key = generate_keys()
print(f'Public Key: {public_key}')
print(f'Private Key:{private_key}')