遗忘因子递推最小二乘法

### 遗忘因子递推最小二乘法原理

遗忘因子递推最小二乘法（Forgetting Factor Recursive Least Squares, FFRLS）是一种改进的最小二乘法，用于动态系统的参数估计。传统最小二乘法假设所有历史数据同等重要，而FFRLS通过引入遗忘因子λ来赋予近期数据更高的权重，从而更好地适应系统参数的变化。

#### 原理概述

在FFRLS中，遗忘因子λ通常取值介于0.9到1之间[^5]。当λ接近1时，算法更倾向于保留较早的数据；反之，则更加重视最近的数据。这种机制使得FFRLS能够快速响应系统变化并跟踪时间序列中的趋势变动。

具体而言，在每次迭代过程中，FFRLS会根据当前时刻t处的新观测值更新参数向量θ(t)，其核心计算公式如下：

\[ \mathbf{K}(t) = \frac{\mathbf{P}(t-1)\varphi(t)}{\lambda + \varphi^\top(t)\mathbf{P}(t-1)\varphi(t)} \]

其中，
- \( \mathbf{K} \) 是增益矩阵；
- \( \mathbf{P} \) 表示协方差矩阵；
- \( \varphi \) 代表输入特征向量；
- λ 即为遗忘因子。

随后利用下述表达式调整参数估计值：

\[ \hat{\boldsymbol\theta}(t) = \hat{\boldsymbol\theta}(t-1) + \mathbf{K}(t)[y(t)-\varphi^\top(t)\hat{\boldsymbol\theta}(t-1)] \]

这里\( y(t) \)表示实际输出测量值，而\( \hat{\boldsymbol\theta}(t) \)则是所求得的最佳拟合系数向量。

最后一步是对协方差矩阵进行修正:

\[ \mathbf{P}(t) = (\mathbf{I}-\mathbf{K}(t)\varphi^\top(t))\mathbf{P}(t-1)/\lambda \]

上述过程构成了完整的FFRLS算法框架。

### 实现方法

下面给出一段MATLAB代码片段展示如何实现带有遗忘因子的递推最小二乘法：

function [thetae,P,yk,uk]=ffrls(a,b,d,L,xi,u)
    na=length(a)-1;
    nb=length(b);
    
    thetae_1=zeros(na+nb+1,1); % 初始条件设置
    P=10^6*eye(na+nb+1);      % 初始化协方差阵
    lambda=0.98;              % 设置遗忘因子
    
    for k=1:L                  % 开始循环处理每一个样本点
        if k==501             % 模拟对象参数发生突变的情况
            a=[1,-1,0.4]';
            b=[1.5,0.2]';
        end
        
        theta(:,k)=[a(2:na+1);b];     % 对象真实参数
        phi=[-yk;uk(d:d+nb)];         % 构造回归矢量φ
        y(k)=phi'*theta(:,k)+xi(k);   % 获取新的观察数据
        
        K=P*phi/(lambda+phi'*P*phi);          % 计算Kalman Gain
        thetae(:,k)=thetae_1+K*(y(k)-phi'*thetae_1);% 更新参数估计
        P=(eye(na+nb+1)-K*phi')*P/lambda;% 更新协方差矩阵
        
        % 数据刷新操作
        thetae_1=thetae(:,k);
        
        for i=d+nb:-1:2
            uk(i)=uk(i-1:2
            yk(i)=yk(i-1);
        end
        yk(1)=y(k);
    end
end

此函数接收一系列输入变量作为参数，并返回最终获得的状态空间模型参数以及其它辅助信息。

### 应用场景

FFRLS广泛应用于多个领域，特别是在实时监控和预测方面表现出色。以下是几个典型的应用实例：

- **电池管理系统**：结合戴维南等效电路模型，使用FFRLS可以有效地在线估算锂离子电池状态(SOC & SOH), 提高了电动汽车能量管理效率[^2]。

- **电力负荷预报**：通过对电网负载特性的持续监测与分析，帮助调度中心制定合理的发电计划，减少不必要的能源浪费。

- **工业自动化控制**：支持自适应控制系统设计，允许机器学习环境下的自我校正功能，增强生产流程稳定性的同时降低了维护成本。